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复合函数的偏导 链式法则

预备知识 全微分, 复合函数求导

   若已知二元函数 $z = f(u,v)$,$z$ 是 $u, v$ 的函数,但若 $u$ 和 $v$ 都又是 $x$ 和 $y$ 的函数,则 $z$ 最终是 $x$ 和 $y$ 的函数,即

\begin{equation} z(x,y) = f[u(x,y),v(x,y)] \end{equation}
那如何求 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏微分呢?我们先来看全微分关系.首先
\begin{equation} \dd{z} = \pdvTwo{f}{u} \dd{u} + \pdvTwo{f}{v} \dd{v} \end{equation}
而 $u$ 和 $v$ 的微小变化又都是由 $x$ 和 $y$ 的微小变化引起的
\begin{equation} \dd{u} = \pdvTwo{u}{x} \dd{x} + \pdvTwo{u}{y} \dd{y} \quad \dd{v} = \pdvTwo{v}{x} \dd{x} + \pdvTwo{v}{y} \dd{y} \end{equation}
所以
\begin{equation}\ali{ \dd{z} &= \pdvTwo{f}{u} \qtyRound{ \pdvTwo{u}{x} \dd{x} + \pdvTwo{u}{y} \dd{y} } + \pdvTwo{f}{v} \qtyRound{ \pdvTwo{v}{x}\dd{x} + \pdvTwo{v}{y} \dd{y} } \\ &= \qtyRound{ \pdvTwo{f}{u}\pdvTwo{u}{x} + \pdvTwo{f}{v}\pdvTwo{v}{x} }\dd{x} + \qtyRound{ \pdvTwo{f}{u}\pdvTwo{u}{y} + \pdvTwo{f}{v}\pdvTwo{v}{y} } \dd{y} }\end{equation}
这就是 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的全微分关系.根据定义
\begin{equation} \pdvTwo{f}{x} = \pdvTwo{f}{u}\pdvTwo{u}{x} + \pdvTwo{f}{v}\pdvTwo{v}{x} \end{equation}
\begin{equation} \pdvTwo{f}{y} = \pdvTwo{f}{u}\pdvTwo{u}{y} + \pdvTwo{f}{v}\pdvTwo{v}{y} \end{equation}
这也叫偏导的链式法则

通用函数名

   物理中常常会出现一种容易混淆的情况1,就是当一个因变量可以有几套自变量(例如上面的 $z(u,v)$ 和 $z(x,y)$)时,通常直接用因变量($z$)作为函数名而另外不定义函数名($f$).然而 $z(u,v)$ 与 $z(x,y)$ 中的 $z$ 并不是同一个函数.以下举例说明

例1 

   在二维直角坐标系中,定义势能函数为

\begin{equation} V=f(x,y)=x^2+y^2+2x \end{equation}
而若用极坐标描述该势能, 则函数变为
\begin{equation} V = g(r,\theta) = f(r\cos \theta , r\sin \theta ) = r^2 + 2r\cos \theta \end{equation}
但许多物理书为了表述方便并不用 $f$ 和 $g$ 区分两个不同的函数, 而是使用 $V(x,y)$ 表示式 7 和 $V(r,\theta)$ 表示式 8 .这样后者就有可能被误解为
\begin{equation} V(r,\theta) = r^2+\theta^2+2r \quad \text{(错)} \end{equation}
这就需要从语境中判断是否使用了通用函数名.

   使用通用函数名时,要注意判断偏导数使用的是哪一套变量,例如 $\pdvStarTwo{V}{x}$ 默认使用 $V(x,y)$ 求偏导, $\pdvStarTwo{V}{r}$ 默认使用 $V(r,\theta)$ 求偏导.一种更复杂的情况如 $(\pdvStarTwo{V}{x})_\theta$. 按照定义2,应该是仅用 $x$ 和 $\theta$ 表示 $V$,然后求偏导.考虑极坐标的定义,$\theta$ 不变意味着 $y$ 与 $x$ 成正比即 $y=x\tan\theta$,代入式 7

\begin{equation} V(x,\theta)=x^2(1+\tan^2 \theta) + 2x \end{equation}
现在再对 $x$ 求偏导即可(略).


1. “通用函数名”是我的叫法
2. 见偏导数中的式 1

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