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正交子空间

正交子空间

预备知识 直和, 内积
定义1 正交子空间
一个内积空间 $V$ 中, 如果两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 任意各选一个矢量 $ \left\lvert v_1 \right\rangle $ 和 $ \left\lvert v_2 \right\rangle $ 都有 $ \left\langle v_1 \middle| v_2 \right\rangle = 0$, 那么我们就说者两个子空间是正交的.

   构造正交子空间的一种简单的方法是, 在 $V$ 中找到两组矢量 $x_1, \dots, x_m$ 和 $y_1, \dots, y_m$, 确保对任意 $x_i$ 和 $y_j$ 正交, 那么 $x_1, \dots, x_m$ 张成的子空间必定和 $y_1, \dots, y_m$ 张成的子空间正交.

定理1 
从基底的角度来看, 两个空间正交的充分必要条件是: 如果从两空间各选一组基底 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ $(i = 1, \dots, N_2)$, 有对任意 $i, j$ 都有 $ \left\langle \alpha_i \middle| \beta_j \right\rangle = 0$.
习题1 

   证明两个正交子空间中, 只有零矢量是共同矢量.

正交子空间的直和

   若两个正交子空间的维数分别为 $N_1$ 和 $N_2$, 它们之和等于母空间的维数 $N$, 那么就说它们是互补(complementary)的. 若分别在这两个空间中取一组基底, 那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底.

   特殊地, 如果 $V_1$ 和 $V_2$ 的两组基底合并后仍然正交归一, 那么合并后就得到了直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中的一组正交归一基底. 但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 $V_1$, $V_2$ 空间中的两组基底.

例1 

   三维几何矢量空间中, 建立直角坐标系, 那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 张成的二维矢量空间(平面)与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 张成的一维矢量空间(直线)正交.

例2 

   虽然 $xy$ 平面和 $xz$ 平面是两个正交的平面, 但它们并不是两个正交子空间. 例如矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是两个平面共同的矢量, 但 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和它本身不正交.

习题2 

   请将例 1 例 2 稍作修改以适用于本文.

正交补

   在 $V$ 空间中, 若 $V_1$ 和 $V_2$ 正交且 $V = V_1 \oplus V_2$, 那么 $V_1$ 和 $V_2$ 分别叫做对方的正交补(Orthogonal complement)

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