图

轨道参数 时间变量

预备知识 开普勒第一定律的证明

   在“开普勒第一定律的证明”中,我们得到了极坐标下的轨道方程

\begin{equation} r=\frac{p}{1+e \cos\theta} \end{equation}
其中,$p=L^2/(mk)$,$e=A/(mk)$.

   对于轨迹上任意一点,容易求出质点在该处的速度矢量.可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$.在极坐标系中,切向速度可表示为 $v_\tau =r \dot\theta$,角动量为 $\bvec L = mr^2\dot{\theta}\uvec z$,因此,切向速度为

\begin{equation} v_\tau =\frac{L}{mr} \end{equation}

   另有法向速度 $v_n=\dot r$,对式 1 求导可得

\begin{equation} v_n =\dvTwo{r}{t}=-\frac{ep\dot{\theta}\sin\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\sin\theta}{mr^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A\sin\theta}{mL} \end{equation}

初值条件

   由轨道方程式 1 可知,轨道上 $\theta=0$ 的点距离坐标原点最近,并且由式 2 式 3 可以发现,该点处的切向速度最大,法向速度为零.在恒星-行星系统中,称这个最近点为“近日点”,通常取该点的运动状态为初值条件.记这个最近距离为 $r_0$,该点处速度为 $v_0$.由此初值条件可得

\begin{align} L &= mv_0r_0\\ A &= m^2v_0^2r_0-mk=m^2\qtyRound{v_0^2r_0-GM}\\ e &= \frac{A}{mk}=\frac{v_0^2r_0}{GM}-1 \end{align}

   轨道上任意一点处,质点所具有的机械能为

\begin{equation} E =\frac{1}{2}m(v_{\tau}+v_n)^2-\frac{k}{r} \end{equation}
由于系统不受外力或外力矩作用,故机械能守恒,由初值条件亦可求出系统机械能
\begin{equation} \begin{aligned} E &=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{k}{r_0}\\ &=\frac{L^2}{2mr_0^2}-\frac{k}{r_0}\\ &=\frac{L^2}{2m}\frac{(1+e)^2)}{p^2}-\frac{k(1+e)}{p}\\ &=\frac{mk^2}{2L^2}\qtyRound{e^2-1} \end{aligned} \end{equation}
式 8 与“开普勒问题”中式 2 所给出的轨道离心率与能量、角动量的关系式一致.

   由此可见,初值条件可以唯一确定轨道的形状、大小等几何参数.

时间变量

   在许多实际应用中,往往需要确定天体位置与时间的关系.比如常见的椭圆轨道,我们不仅需要知道周期,还需要计算天体运行至任意位置的时间.下面就对时间参数展开讨论.

   可将极坐标下的角动量表达式 $ L = mr^2\dot{\theta}$ 改写为

\begin{equation} \dvTwo{\theta}{t}=\frac{L}{mr^2} \end{equation}
将轨道方程式 1 代入,并分离变量
\begin{equation} \dd{t}=\frac{L^3}{mk^2}\frac{\dd{\theta}}{(1+e\cos\theta)} \end{equation}
方程两边积分,可得
\begin{equation} t-t_0 = \frac{L^3}{mk^2}\int_0^{\theta} \frac{\dd{\theta}}{(1+e\cos\theta)^2} \end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间,习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点,即 $t_0=0$ .等号右边的积分根据轨道形状有不同的形式.

圆轨道

   圆轨道是最简单的情况,离心率 $e=0$,可得

\begin{align} t &=\frac{L^3}{mk^2}\theta \\ v^2r &=GM \end{align}
沿圆轨道运动的天体,角速度恒定,即匀速圆周运动.令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为
\begin{equation} T=\frac{2\pi L^3}{mk^2}=\frac{2\pi v^3r^3}{GM}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \end{equation}

椭圆轨道

   椭圆轨道是最常见的情形,离心率 $0 < e<1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{mk^2\qtyRound{1-e^2}^{\frac{3}{2}}}\qtySquare{2\arctanRound{\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}}-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin\theta}{1+e\cos\theta}} \end{equation}
规定当 $(n-1)\pi < \theta \leqslant n\pi$ 时,$\arctanRound{\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}}$ 在 $(\frac{n-1}{2}\pi,\frac{n}{2}\pi]$ 范围内取值.

   同样的,令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为

\begin{equation} T=\frac{2\pi L^3}{mk^2\qtyRound{1-e^2}^{\frac{3}{2}}} \end{equation}

   根据式 15 绘制的时间—角度变化规律,如图 1 所示

图
图1:椭圆轨道时间变量

抛物线轨道

   抛物线轨道离心率 $e=1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{2mk^2}\tanRound{\frac{\theta}{2}}+\frac{1}{6}\tanRound[3]{\frac{\theta}{2}} \end{equation}
在抛物线轨道上运动的天体,其动能与势能之和为

双曲线线轨道

   双曲线轨道离心率 $e > 1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{mk^2\qtyRound{e^2-1}}\qtySquare{\frac{e\sin\theta}{1+e\cos\theta}-\frac{1}{\sqrt{e^2-1}}\lnRound{\frac{\sqrt{e+1}+\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}{\sqrt{e+1}-\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}}} \end{equation}
双曲线轨道的时间—角度变化规律,如图 2 所示

图
图2:双曲线轨道时间变量

   由于式 11 中的被积函数在其有效定义域上为正值,因此所得的时间 $t$ 单调递增,即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系.然而位置—时间的关系式往往涉及超越方程的求解,不能用初等函数式表达,只能借助牛顿迭代法等数值方法计算.

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