图

轨道参数 时间变量

预备知识 开普勒第一定律的证明

   在 “开普勒第一定律的证明” 中,我们得到了极坐标下的轨道方程

\begin{equation} r=\frac{p}{1+e \cos\theta} \end{equation}
其中,$p=L^2/(mk)$,$e=A/(mk)$.

   对于轨迹上任意一点,容易求出质点在该处的速度矢量.可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$.在极坐标系中,切向速度可表示为 $v_\tau =r \dot\theta$,角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,因此,切向速度为

\begin{equation} v_\tau =\frac{L}{mr} \end{equation}

   另有法向速度 $v_n=\dot r$,对式 1 求导可得

\begin{equation} v_n = \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} =-\frac{ep\dot{\theta}\sin\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\sin\theta}{mr^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A\sin\theta}{mL} \end{equation}

初值条件

   由轨道方程式 1 可知,轨道上 $\theta=0$ 的点距离坐标原点最近,并且由式 2 式 3 可以发现,该点处的切向速度最大,法向速度为零.在恒星-行星系统中,称这个最近点为 “近日点”,通常取该点的运动状态为初值条件.记这个最近距离为 $r_0$,该点处速度为 $v_0$.由此初值条件可得

\begin{align} L &= mv_0r_0\\ A &= m^2v_0^2r_0-mk=m^2 \left(v_0^2r_0-GM \right) \\ e &= \frac{A}{mk}=\frac{v_0^2r_0}{GM}-1 \end{align}

   轨道上任意一点处,质点所具有的机械能为

\begin{equation} E =\frac{1}{2}m(v_{\tau}+v_n)^2-\frac{k}{r} \end{equation}
由于系统不受外力或外力矩作用,故机械能守恒,由初值条件亦可求出系统机械能
\begin{equation} \begin{aligned} E &=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{k}{r_0}\\ &=\frac{L^2}{2mr_0^2}-\frac{k}{r_0}\\ &=\frac{L^2}{2m}\frac{(1+e)^2)}{p^2}-\frac{k(1+e)}{p}\\ &=\frac{mk^2}{2L^2} \left(e^2-1 \right) \end{aligned} \end{equation}
式 8 与 “开普勒问题” 中式 2 所给出的轨道离心率与能量、角动量的关系式一致.

   由此可见,初值条件可以唯一确定轨道的形状、大小等几何参数.

时间变量

   在许多实际应用中,往往需要确定天体位置与时间的关系.比如常见的椭圆轨道,我们不仅需要知道周期,还需要计算天体运行至任意位置的时间.下面就对时间参数展开讨论.

   可将极坐标下的角动量表达式 $ L = mr^2\dot{\theta}$ 改写为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{L}{mr^2} \end{equation}
将轨道方程式 1 代入,并分离变量
\begin{equation} \,\mathrm{d}{t} =\frac{L^3}{mk^2}\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)} \end{equation}
方程两边积分,可得
\begin{equation} t-t_0 = \frac{L^3}{mk^2}\int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2} \end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间,习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点,即 $t_0=0$ .等号右边的积分根据轨道形状有不同的形式.

圆轨道

   圆轨道是最简单的情况,离心率 $e=0$,可得

\begin{align} t &=\frac{L^3}{mk^2}\theta \\ v^2r &=GM \end{align}
沿圆轨道运动的天体,角速度恒定,即匀速圆周运动.令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为
\begin{equation} T=\frac{2\pi L^3}{mk^2}=\frac{2\pi v^3r^3}{GM}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \end{equation}

椭圆轨道

   椭圆轨道是最常见的情形,离心率 $0 < e<1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{mk^2 \left(1-e^2 \right) ^{\frac{3}{2}}} \left[2 \arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}\right) -\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin\theta}{1+e\cos\theta} \right] \end{equation}
规定当 $(n-1)\pi < \theta \leqslant n\pi$ 时,$ \arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}\right) $ 在 $(\frac{n-1}{2}\pi,\frac{n}{2}\pi]$ 范围内取值.

   同样的,令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为

\begin{equation} T=\frac{2\pi L^3}{mk^2 \left(1-e^2 \right) ^{\frac{3}{2}}} \end{equation}

   根据式 15 绘制的时间—角度变化规律,如图 1 所示

图
图 1:椭圆轨道时间变量

抛物线轨道

   抛物线轨道离心率 $e=1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{2mk^2} \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) +\frac{1}{6} \tan^{3}\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{equation}
在抛物线轨道上运动的天体,其动能与势能之和为

双曲线线轨道

   双曲线轨道离心率 $e > 1$

\begin{equation} t = \frac{L^3}{mk^2 \left(e^2-1 \right) } \left[\frac{e\sin\theta}{1+e\cos\theta}-\frac{1}{\sqrt{e^2-1}} \ln\left(\frac{\sqrt{e+1}+\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}{\sqrt{e+1}-\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}\right) \right] \end{equation}
双曲线轨道的时间—角度变化规律,如图 2 所示

图
图 2:双曲线轨道时间变量

   由于式 11 中的被积函数在其有效定义域上为正值,因此所得的时间 $t$ 单调递增,即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系.然而位置—时间的关系式往往涉及超越方程的求解,不能用初等函数式表达,只能借助牛顿迭代法等数值方法计算.

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