贡献者： addis
在 “开普勒第一定律的证明” 中，我们得到了极坐标下的轨道方程
\begin{equation}
r=\frac{p}{1+e \cos\theta}~.
\end{equation}
其中，$p=L^2/(mk)$，$e=A/(mk)$。
对于轨迹上任意一点，容易求出质点在该处的速度矢量。可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$。在极坐标系中，切向速度可表示为 $v_\tau =r \dot\theta$，角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，因此，切向速度为
\begin{equation}
v_\tau =\frac{L}{mr}~.
\end{equation}
另有法向速度 $v_n=\dot r$，对式 1 求导可得
\begin{equation}
v_n = \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} =-\frac{ep\dot{\theta}\sin\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\sin\theta}{mr^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A\sin\theta}{mL}~.
\end{equation}
1. 初值条件
由轨道方程式 1 可知，轨道上 $\theta=0$ 的点距离坐标原点最近，并且由式 2 和 式 3 可以发现，该点处的切向速度最大，法向速度为零。在恒星-行星系统中，称这个最近点为 “近日点”，通常取该点的运动状态为初值条件。记这个最近距离为 $r_0$，该点处速度为 $v_0$。由此初值条件可得
\begin{equation}
L = mv_0r_0~,
\end{equation}
\begin{equation}
A = m^2v_0^2r_0-mk=m^2 \left(v_0^2r_0-GM \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
e = \frac{A}{mk}=\frac{v_0^2r_0}{GM}-1 ~.
\end{equation}
轨道上任意一点处，质点所具有的机械能为
\begin{equation}
E =\frac{1}{2}m(v_{\tau}+v_n)^2-\frac{k}{r}~.
\end{equation}
由于系统不受外力或外力矩作用，故机械能守恒，由初值条件亦可求出系统机械能
\begin{equation}
\begin{aligned}
E &=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{k}{r_0}\\
&=\frac{L^2}{2mr_0^2}-\frac{k}{r_0}\\
&=\frac{L^2}{2m}\frac{(1+e)^2)}{p^2}-\frac{k(1+e)}{p}\\
&=\frac{mk^2}{2L^2} \left(e^2-1 \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
与 “开普勒问题
” 中
式 2 所给出的轨道离心率与能量、角动量的关系式一致。
由此可见，初值条件可以唯一确定轨道的形状、大小等几何参数。
2. 时间变量
在许多实际应用中，往往需要确定天体位置与时间的关系。比如常见的椭圆轨道，我们不仅需要知道周期，还需要计算天体运行至任意位置的时间。下面就对时间参数展开讨论。
可将极坐标下的角动量表达式 $ L = mr^2\dot{\theta}$ 改写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{L}{mr^2}~.
\end{equation}
将轨道方程
式 1 代入，并分离变量
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{t} =\frac{L^3}{mk^2}\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)}~.
\end{equation}
方程两边积分，可得
\begin{equation}
t-t_0 = \frac{L^3}{mk^2}\int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2}~.
\end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间，习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点，即 $t_0=0$。等号右边的积分根据轨道形状有不同的形式。
圆轨道
圆轨道是最简单的情况，离心率 $e=0$，可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
t &=\frac{L^3}{mk^2}\theta ~,\\
v^2r &=GM ~.
\end{aligned}
\end{equation}
沿圆轨道运动的天体，角速度恒定，即
匀速圆周运动。令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为
\begin{equation}
T=\frac{2\pi L^3}{mk^2}=\frac{2\pi v^3r^3}{GM}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}~.
\end{equation}
椭圆轨道
椭圆轨道是最常见的情形，离心率 $0< e<1$
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{mk^2 \left(1-e^2 \right) ^{\frac{3}{2}}} \left[2 \arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}\right) -\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin\theta}{1+e\cos\theta} \right] ~.
\end{equation}
规定当 $(n-1)\pi<\theta \leqslant n\pi$ 时，$ \arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\theta}{2}\right) $ 在 $(\frac{n-1}{2}\pi,\frac{n}{2}\pi]$ 范围内取值。
同样的，令 $\theta=2\pi$ 可得运转周期为
\begin{equation}
T=\frac{2\pi L^3}{mk^2 \left(1-e^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}~.
\end{equation}
根据式 14 绘制的时间—角度变化规律，如图 1 所示
图 1：椭圆轨道时间变量
抛物线轨道
抛物线轨道离心率 $e=1$
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{2mk^2} \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) +\frac{1}{6} \tan^{3}\left(\frac{\theta}{2}\right) ~.
\end{equation}
在抛物线轨道上运动的天体，其动能与势能之和为
零。
双曲线线轨道
双曲线轨道离心率 $e>1$
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{mk^2 \left(e^2-1 \right) } \left[\frac{e\sin\theta}{1+e\cos\theta}-\frac{1}{\sqrt{e^2-1}} \ln\left(\frac{\sqrt{e+1}+\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}{\sqrt{e+1}-\sqrt{e-1}\tan\frac{\theta}{2}}\right) \right] ~.
\end{equation}
双曲线轨道的时间—角度变化规律，如
图 2 所示
图 2：双曲线轨道时间变量
由于式 11 中的被积函数在其有效定义域上为正值，因此所得的时间 $t$ 单调递增，即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系。然而位置—时间的关系式往往涉及超越方程的求解，不能用初等函数式表达，只能借助牛顿迭代法等数值方法计算。
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