图

正交归一基底

预备知识 矢量内积

   我们已经知道了矢量基底的概念, 如果一组矢量基底中的每个矢量模长都为 $1$ 且每两个矢量都正交, 则我们把这组基底称为正交归一基单位正交基. 若把这组正交归一基记为 $\uvec x_1,\uvec x_2\dots\uvec x_n$, 则正交归一可以用内积表示为

\begin{equation} \uvec x_i \vdot \uvec x_j = \delta_{ij} \end{equation}
其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数(Kronecker delta function), 定义为
\begin{equation} \delta_{ij} = \leftgroup{&1\qquad (i = j)\\ &0\qquad (i \ne j)} \end{equation}
易证 $\delta$ 函数的两个常用性质
\begin{equation} \sum_j a_j \delta_{ij} = a_i \qquad \sum_{ij} a_i b_j \delta_{ij} = \sum_k a_k b_k \end{equation}

   任意矢量在单位正交基上的展开

\begin{equation} \bvec v = \sum_{i = 1}^n (\bvec v\vdot\uvec x_i)\,\uvec x_i = \sum_{i = 1}^n v_i \,\uvec x_i \end{equation}
最常见的例子就是几何矢量在直角坐标系的 $\uvec x, \uvec y, \uvec z$ 三个单位正交矢量上的展开.
\begin{equation} \bvec v = (\bvec v \vdot \uvec x)\,\uvec x + (\bvec v \vdot \uvec y)\,\uvec y + (\bvec v \vdot \uvec z)\,\uvec z = v_x \,\uvec x + v_y \,\uvec y + v_z \,\uvec z \end{equation}

证明

   由于任何矢量都可以表示成基底 $\uvec x_1 \dots \uvec x_n$ 的线性组合,设

\begin{equation} \bvec v = \sum_{i = 1}^n c_i \uvec x_i \end{equation}
用 $\uvec x_k$ 乘以等式两边,得
\begin{equation} \bvec v \vdot \uvec x_k = \sum_{i = 1}^n c_i \uvec x_i \vdot\uvec x_k = \sum_{i = 1}^n c_i \delta_{ik} = c_k \end{equation}
所以式 6 中的系数有唯一确定的值 $c_k = \bvec v \vdot\uvec x_k$. 证毕.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利