算符的矩阵表示
考虑一个比较基本的问题， 算符的“功能”是什么呢？ 算符就是对函数的一种操作方法．给出一个波函数， 经过算符作用， 可以得到一个新的波函数．以下给出量子力学中算符的两个重要性质
- 算符都是线性的， 即对任意 $n$ 个波函数 $\psi_1, \psi_2 \dots \psi_n$， 算符 $\Q Q$ 满足
\begin{equation} \Q Q (c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 \dots c_n \psi_n) = c_1\Q Q \psi_1 + c_2 \Q Q \psi_2 \dots c_n \Q Q \psi_n \end{equation}
- 算符的本征方程的本征值都是实数．因为根据测量理论， 本征值就是可能出现的测量结果， 所以本征值一定是实数．
我们已经知道， 波函数可以用列向量表示．既然算符都是线性的， 而矩阵可以表示列向量的线性变换， 是否可以用矩阵代替算符， 从而作用于列向量呢？根据性质 $1$， 若 是算符 $\Q Q$ 的本征函数， $\lambda_1 \dots \lambda_n$ 是对应的本征值（实数）， 则
\begin{equation}\leftgroup{
\Q Q \psi & = \Q Q(c_1 \psi_1 + \dots + c_n \psi_n)\\
& = c_1 \Q Q \psi_1 + \dots + c_n \Q Q \psi_n\\
& = \lambda_1 c_1 \psi_1 + \dots + \lambda_n c_n \psi_n
}\end{equation}
\begin{equation}
\mat Q = \pmat{
\lambda_1 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n}
\end{equation}
\begin{equation}
\pmat{\lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n}
\pmat{c_1\\ \vdots \\c_n}
= \pmat{\lambda_1 c_1\\ \vdots \\ \lambda_n c_n}
\end{equation}
\begin{equation}
\mat Q \ket{\psi} = \lambda \ket{\psi}
\end{equation}
在任意基底中的矩阵
上面的讨论中用矩阵 $\mat Q$ 表示算符 $\Q Q$， 其局限性在于，只能使用 $\Q Q$ 的本征函数 $\psi_1 \dots \psi_n$ 作为基底．现在若用其他基底（正交归一的） $\phi_1 \dots \phi_n$， 能否求出算符 $\Q Q$ 对应的矩阵 $\mat Q_1$ 呢？\\ 下面讨论中， 为了避免混淆， 用 $\ket{f}_\phi$ 表示波函数 $f$ 以 $\phi_1 \dots \phi_n$ 为基底的列矢量， $\ket{f}_\psi$ 表示波函数 $f$ 以 $\psi_1 \dots \psi_n$ 为基底的列矢量．
现取任意一波函数 $f$， $\ket{f}_\psi = (c_1\dots c_n)\Tr$， $\ket{f}_\phi = (d_1\dots d_n)\Tr$． 虽然它们表示同一个波函数 $f$， 但是由于选取的基底不同， 列向量也不同．下面讨论它们之间的变换关系．
若把 $f$ 按 $\phi_i$ 展开， 有
\begin{equation}\ali{
\int \phi_i^*f \dd{x} & = \int \phi_i^* ( d_1 \phi_1 + \ldots + d_n \phi_n) \dd{x} = \sum_{j = 1}^n d_j \int \phi_i^*{\phi_j} \dd{x}\\
&= \sum_{j=1}^n d_j \delta_{ij} = d_i
}\end{equation}
\begin{equation}
d_i = \int \phi_i^*f \dd{x} = \int \phi_i^* (c_1 \psi_1 + \dots + c_n \psi_n) \dd{x} = \sum_{j = 1}^n c_j \int \phi_i^*{\psi_j} \dd{x}
\end{equation}
若令 $\Q Q f = g$， 根据前面的内容， $Q \ket{f}_\psi = \ket{g}_\psi$ 其中 $Q = \rm{diag}(\lambda_1\dots\lambda_n)$． 下面应用基底变换矩阵， 有 $\ket{f}_\psi = P^{-1} \ket{f}_\phi$ ; $\ket{g}_\psi = P^{-1} \ket{g}_\phi$． 代入上式得
\begin{equation}
Q P^{-1} \ket{f}_\phi = P^{-1} \ket{g}_\phi
\end{equation}
\begin{equation}
PQ P^{-1} \ket{f}_\phi = \ket{g}_\phi
\end{equation}
\begin{equation}
Q_1 \ket{f}_\phi = \ket{g}_\phi
\end{equation}
下面证明 $\mat Q_1$ 是厄米矩阵．
我们先学习所谓幺正矩阵．这里给出幺正矩阵的一种定义： 若把矩阵 $\mat P$ 的每一列划分成一个列向量， 从左到右分别为 $\ket{p_1} \dots\ket{p_n}$， 若满足 $\braketTwo{p_i}{p_j}=\delta_{ij}$ 则矩阵 $\mat P$ 叫做幺正矩阵．
容易证明式 $*$ 中的 $P$ 就是幺正矩阵（证明略）．
性质 $1$ ： 幺正矩阵一个很重要的性质就是其厄米共轭等于其逆矩阵， $\mat P^* = \mat P^{- 1}$
证明： 要证明 $\mat P^* = \mat P^{-1}$， 只需证明 $\mat P^* \mat P$ 是单位矩阵即可． 根据矩阵乘法的定义，
\begin{equation}
(P^* P)_{ij} = \sum_{k=1}^n (P^*)_{ik}P_{kj}
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n (P^*)_{ik}P_{kj} = \sum_{k=1}^n (P_{ki})^* P_{kj} = \braketTwo{p_i}{p_j} \delta_{ij}
\end{equation}
在上文中， $\mat Q$ 是所谓的实数元的对角矩阵， 所以 $\mat Q^* = \mat Q$
另外容易证明， $(\mat A\mat B)^* = \mat B^* \mat A^*$． 所以
\begin{equation}
\mat Q_1^* = (\mat P\mat Q\mat P^{-1})^* = (\mat P^{-1})^* (\mat P\mat Q)^* = \mat P(\mat Q^* \mat P^*) = \mat P\mat Q\mat P^{-1} = \mat Q_1
\end{equation}
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—— 小时（项目创始人）
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