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算符的矩阵表示

   考虑一个比较基本的问题, 算符的“功能”是什么呢? 算符就是对函数的一种操作方法.给出一个波函数, 经过算符作用, 可以得到一个新的波函数.以下给出量子力学中算符的两个重要性质

  1. 算符都是线性的, 即对任意 $n$ 个波函数 $\psi_1, \psi_2 \dots \psi_n$, 算符 $\Q Q$ 满足
    \begin{equation} \Q Q (c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 \dots c_n \psi_n) = c_1\Q Q \psi_1 + c_2 \Q Q \psi_2 \dots c_n \Q Q \psi_n \end{equation}
  2. 算符的本征方程的本征值都是实数.因为根据测量理论, 本征值就是可能出现的测量结果, 所以本征值一定是实数.

   我们已经知道, 波函数可以用列向量表示.既然算符都是线性的, 而矩阵可以表示列向量的线性变换, 是否可以用矩阵代替算符, 从而作用于列向量呢?根据性质 $1$, 若 是算符 $\Q Q$ 的本征函数, $\lambda_1 \dots \lambda_n$ 是对应的本征值(实数), 则

\begin{equation}\leftgroup{ \Q Q \psi & = \Q Q(c_1 \psi_1 + \dots + c_n \psi_n)\\ & = c_1 \Q Q \psi_1 + \dots + c_n \Q Q \psi_n\\ & = \lambda_1 c_1 \psi_1 + \dots + \lambda_n c_n \psi_n }\end{equation}
若把上面的波函数表示成列矢量,就相当于在算符 $\Q Q$ 的作用下任意一个列矢量 $\ket{\psi} = (c_1, \dots, c_n)\Tr$ 总是会变成 $(\lambda_1 c_1, \dots, \lambda_n c_n)\Tr$. 这个变换可以用矩阵
\begin{equation} \mat Q = \pmat{ \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n} \end{equation}
来表示,即
\begin{equation} \pmat{\lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n} \pmat{c_1\\ \vdots \\c_n} = \pmat{\lambda_1 c_1\\ \vdots \\ \lambda_n c_n} \end{equation}
所以矩阵 $\mat Q$ 就是算符 $\Q Q$ 的矩阵形式, 把算符作用在波函数上得到新的波函数, 等效于把算符对应的矩阵作用在波函数对应的列矢量上, 得到新的波函数对应的列矢量.\\ 用矩阵和列向量表示的本征方程如下
\begin{equation} \mat Q \ket{\psi} = \lambda \ket{\psi} \end{equation}
解得 $\lambda = \lambda_i$ 时, $\ket{\psi} = \ket{\psi_1} = (0, \dots, 1, \dots, 0)\Tr$ (只有第 $i$ 个分量等于 1,其余分量等于 0),而 $\ket{\psi_i}$ 正是波函数 $\psi_i$ 对应的列向量.

在任意基底中的矩阵

   上面的讨论中用矩阵 $\mat Q$ 表示算符 $\Q Q$, 其局限性在于,只能使用 $\Q Q$ 的本征函数 $\psi_1 \dots \psi_n$ 作为基底.现在若用其他基底(正交归一的) $\phi_1 \dots \phi_n$, 能否求出算符 $\Q Q$ 对应的矩阵 $\mat Q_1$ 呢?\\ 下面讨论中, 为了避免混淆, 用 $\ket{f}_\phi$ 表示波函数 $f$ 以 $\phi_1 \dots \phi_n$ 为基底的列矢量, $\ket{f}_\psi$ 表示波函数 $f$ 以 $\psi_1 \dots \psi_n$ 为基底的列矢量.

   现取任意一波函数 $f$, $\ket{f}_\psi = (c_1\dots c_n)\Tr$, $\ket{f}_\phi = (d_1\dots d_n)\Tr$. 虽然它们表示同一个波函数 $f$, 但是由于选取的基底不同, 列向量也不同.下面讨论它们之间的变换关系.

   若把 $f$ 按 $\phi_i$ 展开, 有

\begin{equation}\ali{ \int \phi_i^*f \dd{x} & = \int \phi_i^* ( d_1 \phi_1 + \ldots + d_n \phi_n) \dd{x} = \sum_{j = 1}^n d_j \int \phi_i^*{\phi_j} \dd{x}\\ &= \sum_{j=1}^n d_j \delta_{ij} = d_i }\end{equation}
若把 $f$ 按 $\psi_i$ 展开, 有
\begin{equation} d_i = \int \phi_i^*f \dd{x} = \int \phi_i^* (c_1 \psi_1 + \dots + c_n \psi_n) \dd{x} = \sum_{j = 1}^n c_j \int \phi_i^*{\psi_j} \dd{x} \end{equation}
上式用矩阵和列矢量表示, 即 $(d_1 \dots d_n)\Tr = \mat P (c_1 \dots c_n)\Tr$, 即 ${\left| f \right\rangle_\phi } = P{\left| f \right\rangle_\psi }$.\\ 其中 $P$ 矩阵的矩阵元 ${P_{ij}} = \int {\phi_i^*{\psi_j}dx} $. $\mat P$ 叫做基底变换矩阵(或表象变换矩阵).

   若令 $\Q Q f = g$, 根据前面的内容, $Q \ket{f}_\psi = \ket{g}_\psi$ 其中 $Q = \rm{diag}(\lambda_1\dots\lambda_n)$. 下面应用基底变换矩阵, 有 $\ket{f}_\psi = P^{-1} \ket{f}_\phi$ ; $\ket{g}_\psi = P^{-1} \ket{g}_\phi$. 代入上式得

\begin{equation} Q P^{-1} \ket{f}_\phi = P^{-1} \ket{g}_\phi \end{equation}
两边左乘 $P$ 得
\begin{equation} PQ P^{-1} \ket{f}_\phi = \ket{g}_\phi \end{equation}
令 $\mat Q_1 = \mat P\mat Q \mat P^{-1}$, 得
\begin{equation} Q_1 \ket{f}_\phi = \ket{g}_\phi \end{equation}
所以 $\mat Q_1$ 就是要求的矩阵.

   下面证明 $\mat Q_1$ 是厄米矩阵.

   我们先学习所谓幺正矩阵.这里给出幺正矩阵的一种定义: 若把矩阵 $\mat P$ 的每一列划分成一个列向量, 从左到右分别为 $\ket{p_1} \dots\ket{p_n}$, 若满足 $\braketTwo{p_i}{p_j}=\delta_{ij}$ 则矩阵 $\mat P$ 叫做幺正矩阵.

   容易证明式 $*$ 中的 $P$ 就是幺正矩阵(证明略).

   性质 $1$ : 幺正矩阵一个很重要的性质就是其厄米共轭等于其逆矩阵, $\mat P^* = \mat P^{- 1}$

   证明: 要证明 $\mat P^* = \mat P^{-1}$, 只需证明 $\mat P^* \mat P$ 是单位矩阵即可. 根据矩阵乘法的定义,

\begin{equation} (P^* P)_{ij} = \sum_{k=1}^n (P^*)_{ik}P_{kj} \end{equation}
根据厄米共轭的定义,
\begin{equation} \sum_{k=1}^n (P^*)_{ik}P_{kj} = \sum_{k=1}^n (P_{ki})^* P_{kj} = \braketTwo{p_i}{p_j} \delta_{ij} \end{equation}
所以 $\mat P^* \mat P$ 是 $n$ 阶的单位矩阵. 证毕.

   在上文中, $\mat Q$ 是所谓的实数元的对角矩阵, 所以 $\mat Q^* = \mat Q$

   另外容易证明, $(\mat A\mat B)^* = \mat B^* \mat A^*$. 所以

\begin{equation} \mat Q_1^* = (\mat P\mat Q\mat P^{-1})^* = (\mat P^{-1})^* (\mat P\mat Q)^* = \mat P(\mat Q^* \mat P^*) = \mat P\mat Q\mat P^{-1} = \mat Q_1 \end{equation}
所以 $\mat Q_1$ 是厄米矩阵.

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