图

算符的指数函数 波函数传播子

预备知识 一阶线性常微分方程组

不含时, 有限维的情况

   我们可以证明对任意厄米矩阵 $\mat H$, $\mat U(t) = \expRound{-\I \mat H t}$ 都是酋矩阵, 成为传播子(propagator). 要证明一个矩阵是酋矩阵, 只需要证明

\begin{equation} \mat{U}\Her \mat U = \mat I \end{equation}
由 $\expRound{-\I \mat H t}$ 的级数定义以及厄米算符的性质可得 $\expRound{-\I \mat H t}\Her = \expRound{\I \mat H t}$, 所以
\begin{equation} \mat U(t)\Her \mat U(t) = \expRound{\I \mat H t} \expRound{-\I \mat H t} = \expRound{\mat 0} = \mat I \end{equation}
注意只有 $[\mat A, \mat B] = 0$ 时才有
\begin{equation} \expRound{\mat A}\expRound{\mat B} = \expRound{\mat A + \mat B} \end{equation}

不含时, 无穷维的情况

   算符和有限维矩阵的性质往往有相同之处, 然而当拓展到无穷维的情况时往往就需要高级得多的数学(泛函分析), 我们暂不详细介绍这些数学, 而是直接通过类比给出结论.

   将 “一阶线性常微分方程组” 中式 1 拓展成偏微分方程1, 令 $A$ 为算符.

\begin{equation} \pdv{t} f(x, y, \dots, t) = A f(x, y, \dots, t) \end{equation}
那么当 $A$ 不含 $t$ 时, 有
\begin{equation} f(x, y, \dots, t) = \expRound{A t} f(x, y, \dots, 0) \end{equation}
若 $A$ 含有 $t$, 形式解式 7 变为
\begin{equation} f(x, y, \dots, t) = \Q {\mathcal T} \exp[\int_0^ t A(t')\dd t'] f(x, y, \dots, t) \end{equation}

含时薛定谔方程的解

   我们把哈密顿算符 $H$ 看作是无穷维矩阵, 薛定谔方程可记为与一阶线性常微分方程组(式 1 )相同的形式

\begin{equation} \dv{t} \ket{\psi(t)} = -\I H \ket{\psi(t)} \end{equation}
当哈密顿算符 $H$ 不含时, 解为(根据式 2
\begin{equation} \ket{\psi(t)} = \expRound{-\I H t} \ket{\psi(0)} \end{equation}
当哈密顿算符含时, 形式上可以把解记为
\begin{equation} \ket{\psi(t)} = \Q {\mathcal T} \expRound{\int_0^ t H(t')\dd t'} \ket{\psi(0)} \end{equation}
我们把以上的 $\exp$ 就是波函数的传播子, 其定义依然是使用指数函数的级数展开.


1. 形象理解: 将矢量 $\bvec v$ 看作有无穷多个元, 且取值连续, 就成了 $f(x, t)$

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