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算符的指数函数 波函数传播子

预备知识 一阶线性常微分方程组

含时薛定谔方程的解

   量子力学中的算符和有限维矩阵的性质往往有相同之处, 然而当拓展到无穷维的情况时往往就需要高级得多的数学(泛函分析), 我们暂不详细介绍这些数学, 而是直接通过类比给出结论.

   例如, 我们把哈密顿算符 $H$ 看作是无穷维矩阵, 薛定谔方程可记为与一阶线性常微分方程组(式 1 )相同的形式

\begin{equation} \dv{t} \ket{\psi(t)} = -\I H \ket{\psi(t)} \end{equation}
当哈密顿算符 $H$ 不含时, 解为(根据式 2
\begin{equation} \ket{\psi(t)} = \expRound{-\I H t} \ket{\psi(0)} \end{equation}
当哈密顿算符含时, 形式上可以把解记为
\begin{equation} \ket{\psi(t)} = \Q {\mathcal T} \expRound{\int_0^ t H(t')\dd t'} \ket{\psi(0)} \end{equation}
我们把以上的 exp 项称为传播子(propagator), 其定义依然是使用指数函数的级数展开.

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