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算符对易与共同本征矢

预备知识 厄米矩阵的本征问题, 矢量空间的子空间

   我们知道一般来说两个矩阵(或有限维矢量空间中的线性算符)的乘法是不满足交换律的, 我们说它们不对易. 但一些情况下我们可以找到满足交换律的算符对, 我们把这样的两个算符(矩阵)称为对易的. 以下我们只讨论对易的厄米算符(矩阵).

   我们先来定义两个厄米矩阵 $\mat A$, $\mat B$ 的对易运算(Commutator)为

\begin{equation} [\mat A, \mat B] = \mat A \mat B - \mat B \mat A \end{equation}
如果两个矩阵对易, 即 $\mat A \mat B = \mat B \mat A$ 我们就记
\begin{equation} [\mat A, \mat B] = \mat 0 \end{equation}

   由于矩阵与矩阵或矢量的乘法满足结合律(式 18 ), 算符对易意味着, 对于空间中任意一个矢量 $\bvec v$, 先将 $\mat A$ 对其作用再将 $\mat B$ 对其作用, 等于以相反的顺序作用. 即

\begin{equation} \mat B(\mat A \bvec v) = \mat A (\mat B \bvec v) \end{equation}

   为什么要讨论两个矩阵是否对易? 因为对易与矩阵的本征问题紧密关联

定理1 对易与共同本征矢
令 $\mat A$ 和 $\mat B$ 为 $N$ 维矢量空间中的厄米矩阵, 以下两个命题互为充分必要条件
  1. $[\mat A, \mat B] = \mat 0$
  2. 空间中存在一组正交基底, 同时是 $\mat A$ 和 $\mat B$ 的共同本征矢

证明

   首先用条件 2 证明条件 1. 记这组共同本征矢维 $\bvec v_i \ \ (i = 1, \dots , N)$, 且令本征值为 $a_i, b_i$, 即

\begin{equation} \leftgroup{ \mat A \bvec v_i &= a_i \bvec v_i\\ \mat B \bvec v_i &= b_i \bvec v_i } \end{equation}
那么对所有 $i = 1, \dots, N$ 都有
\begin{equation} \mat B (\mat A \bvec v_i) = \mat B (a_i \bvec v_i) = a_i \mat B \bvec v_i = a_i b_i \bvec v_i \end{equation}
\begin{equation} \mat A (\mat B \bvec v_i) = \mat A (b_i \bvec v_i) = b_i \mat A \bvec v_i = a_i b_i \bvec v_i \end{equation}
可见式 3 对每个基底都成立, 所以对空间中的任意矢量也成立(因为任意矢量可以表示成基底的线性组合, 而算符都是线性的), 所以 $\mat A \mat B = \mat B \mat A$.

   再来用条件 1 证明条件 2. 这要更复杂一些. 我们解 $\mat A$ 的本征方程

\begin{equation} \mat A \bvec v_i = a_i \bvec v_i \end{equation}
由于 $A$ 是厄米矩阵, 我们必定可以得到一组($N$ 个)两两正交的本征矢量 $\bvec v_i$ 和本征值 $a_i$. 由于两个算符对易, 有
\begin{equation} \mat A (\mat B \bvec v_i) = \mat B (\mat A \bvec v_i) = \mat B (a_i \bvec v_i) = a_i (\mat B \bvec v_i) \end{equation}
观察等式两端, 这说明 $\mat B \bvec v_i$ 矢量同样也是本征值 $a_i$ 对应的本征矢.

   现在分两种情况讨论. 第一种是每个 $a_i$ 各不相同, 即 $\mat A$ 不存在简并(注意我们并不在乎 $\mat B$ 是否有简并). 这样每个 $a_i$ 对应一个一维子空间, 空间中的所有矢量都共线, 所以 $\mat B \bvec v_i$ 和 $\bvec v_i$ 共线, 即后者乘以常数等于前者. 令该常数为 $b_i$, 得

\begin{equation} \mat B \bvec v_i = b_i \bvec v_i \end{equation}
这就证明了 $\bvec v_i$ 同样是 $\mat B$ 的本征矢.

   另一种情况是 $\mat A$ 存在简并的情况. 假设不同本征值 $a_i$ 相等的情况, 那我们就把本征值相同的所有本征矢放到一组, 每一组都可以张成一个子空间, 空间中的任意矢量都具有同样的本征值.

   如果 $\bvec v_i$ 属于某个 $n > 1$ 维的简并的子空间, 那么式 3 未必说明 $\mat B \bvec v_i$ 与 $\bvec v_i$ 共线, 而是只能说明 $\mat B \bvec v_i$ 和 $\bvec v_i$ 处于同一个子空间中. 或者说, 式 3 说明 $\mat B$ 在该子空间中是闭合的. 这样, 在该空间中, 算符 $\hat B$ 就可以表示成一个 $n$ 维的矩阵. 求这个矩阵的本征值, 就可以得到 $\mat B$ 的 $n$ 个本征矢 $\bvec u_i$, 既是 $\mat A$ 的本征矢(因为该子空间中的任何矢量都是), 也是 $\mat B$ 的本征矢.

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