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二阶常系数非齐次微分方程

预备知识 二阶常系数齐次微分方程

结论

   在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 $f(x)$, 就得到了二阶常系数非齐次微分方程

\begin{equation} y'' + by' + cy = f(x) \end{equation}
这就是二阶常系数非齐次微分方程.其解为
\begin{equation} y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1\int \frac{y_2 f}{W} \dd{x} + y_2\int \frac{y_1 f}{W} \dd{x} \end{equation}
其中 $W$ 可以写成二阶行列式
\begin{equation} W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} = y_1 y'_2 - y'_1 y_2 \end{equation}
其中 $y_1, y_2, W, f$ 都是 $x$ 的函数,后面的括号和自变量被省略.$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是对应齐次方程
\begin{equation} y'' + by' + cy = 0 \end{equation}
的两个线性无关的解.

应用

推导

   下面介绍的方法叫常数变易法,其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解 设通解的形式为

\begin{equation} y = v_1 y_1 + v_2 y_2 \end{equation}
其中,$v_i$ 也是关于 $x$ 的函数. 对该式两边求导,得
\begin{equation} y' = v'_1 y_1 + v'_2 y_2 + v_1 y'_1 + v_2 y'_2 \end{equation}
为了接下来计算方便,我们规定 $v_1$, $v_2$ 满足关系1
\begin{equation} v'_1 y_1 + v'_2 y_2 = 0 \end{equation}
式 7 代入式 6 , 得到
\begin{equation} y' = v_1 y'_1 + v_2 y'_2 \end{equation}
继续对求导,得到
\begin{equation} y'' = v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2 \end{equation}
式 5 式 8 式 9 代回原方程式 1
\begin{equation} (v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2) + b (v_1 y'_1 + v_2 y'_2) + c(v_1 y_1 + v_2 y_2) = f \end{equation}
化简,得
\begin{equation} (v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2) + v_1 (a y''_1 + b y'_1 + c y_1) + v_2 (a y''_2 + b y'_2 + c y_2) = f \end{equation}
由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是式 4 的解,式(9)化为
\begin{equation} v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 = f \end{equation}
总结一下,刚刚的推导说明,和在(5)的假设条件下,只要满足(10)即可满足(1)式.联立(5)和(10)式,得到关于 $v_1'$ 和 $v_2'$ 的方程组
\begin{equation} \leftgroup{ y_1 v'_1 + y_2 v'_2 = 0\\ y'_1 v'_1 + y'_2 v'_2 = f }\end{equation}
解得
\begin{equation} \leftgroup{v_1' &= -y_2f/W\\ v_2' &= y_1 f/W} \end{equation}
其中
\begin{equation} W = y_1 y'_2 - y_2 y'_1 = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix} \end{equation}
对(13)的两条式子积分,即可得到
\begin{equation} v_1 = - \int \frac{y_2 f}{W} \dd{x} + C_1 \end{equation}
\begin{equation} v_2 = \int \frac{y_1 f}{W} \dd{x} + C_2 \end{equation}
(15)(16)代入(5)式,得到方程(1)的解为
\begin{equation} y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1 \int \frac{y_2 f}{W} \dd{x} + y_2 \int \frac{y_1 f}{W} \dd{x} \end{equation}
由于上式满足线性微分方程解的结构,所这已经是通解了.但是必须注意,根据常数变易法,我们只能在没有零点的区间内找到方程式 1 的通解.


1. 这么规定会不会丢失一部分解呢?或许会,但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解 $y_1$ 和 $y_2$, 根据线性微分方程解的结构(见同济大学的《高等数学》),只需要找到式 1 的任意一个解,就可以找到它的通解.

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