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二阶常系数齐次微分方程

预备知识 常微分方程, 指数函数(复数)

   二阶常系数齐次微分方程形式如下

\begin{equation} ay'' + by' + cy = 0 \end{equation}
注意到指数函数 $y = C \mathrm{e} ^{rx}$ 第 $n$ 阶导数为 $r^n \mathrm{e} ^{rx}$, 不妨尝试把指数函数代入方程,得
\begin{equation} (a r^2 + br + c) \mathrm{e} ^{rx} = 0 \end{equation}
由于 $ \mathrm{e} ^{rx} \ne 0$, 必有 $a r^2 + br + c = 0$. 把这个二次函数叫做特征方程,解特征方程,就可以得到方程的解.根据根的分布, 有如下四种情况

  1. 有两个不同的实根 $r_1$ 和 $r_2$( $b^2 - 4ac > 0$), 方程的通解为
    \begin{equation} y = C_1 \mathrm{e} ^{r_1 x} + C_2 \mathrm{e} ^{r_2 x} \end{equation}
  2. 有一个重根 $r$ ($b^2 - 4ac = 0$), 方程的通解为
    \begin{equation} y = C_1 \mathrm{e} ^{rx} + C_2 x \mathrm{e} ^{rx} \end{equation}
  3. 有两个纯虚数根 $\pm \mathrm{i} \omega_0$( $b = 0,\,\, b^2 - 4ac < 0$), 方程的通解为
    \begin{equation} y = C_1 \cos\left(\omega_0 x\right) + C_2 \sin\left(\omega_0 x\right) \end{equation}
    \begin{equation} y = C_1 \cos\left(\omega_0 x + C_2\right) \end{equation}
    其中 $\omega_0 = \sqrt{c/a}$.
  4. 有两个复数根 $r \pm \mathrm{i} \omega$ ($b \ne 0,\,\, b^2 - 4ac < 0$), 方程的通解为
    \begin{equation} y = \mathrm{e} ^{rx} [ C_1 \cos\left(\omega x\right) + C_2 \sin\left(\omega x\right) ] \end{equation}
    \begin{equation} y = C_1 \mathrm{e} ^{rx} \cos\left(\omega x + C_2\right) \end{equation}
    其中
    \begin{equation} r = - \frac{b}{2a} \qquad \omega = \frac{1}{2a}\sqrt{4ac - b^2} \end{equation}

详细推导

   情况 1 的结论是显然的, 我们先来看情况 3. 根据 $y = C \mathrm{e} ^{rx}$ 的假设, 通解应该是

\begin{equation} y = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega x} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega x} \end{equation}
如果这里的 $C_1$ 和 $C_2$ 取任意复数, 那么上式就是方程在复数域的通解, 其中包含了实数域的通解. 这个通解还有另一种等效的形式, 令
\begin{equation} C_1 = \frac{C_3}{2} + \frac{C_4}{2 \mathrm{i} } \qquad C_2 = \frac{C_3}{2} - \frac{C_4}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \begin{aligned} y &= C_3 \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega x}}{2} + C_4 \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega x}}{2 \mathrm{i} }\\ &=C_3 \cos\left(\omega x\right) + C_4 \sin\left(\omega x\right) \end{aligned} \end{equation}
注意如果 $C_3, C_4$ 取任意复数, 该式仍然是复数域的通解(因为任何 $C_1, C_2$ 都可以找到对应的 $C_3, C_4$), 但只要把 $C_3, C_4$ 限制在实数域中, 该式就是实数域的通解.

   情况 4 的结论可以类比情况 3 得出, 最后我们来看情况 2. 我们可以把情况 2 看做情况 4 的一个极限, 即 $\omega \to 0$ 时的情况. 如果式 7 中的 $C_1, C_2$ 都是普通常数, 则取该极限时可以得到式 4 的第一项 $C_1 \mathrm{e} ^{rx}$. 那如何得到第二项呢? 我们不妨令式 7 中的 $C_1 = 0$, $C_2 = C_3/\omega$, 再来取极限, 得

\begin{equation} \lim_{\omega\to 0} C_3 \mathrm{e} ^{rx} \frac{ \sin\left(\omega x\right) }{\omega x} x = C_3 x \mathrm{e} ^{rx} \end{equation}
这里用到了 “小角正弦值极限” 中的结论.

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