图

一阶线性常微分方程组

解析解

   形式为

\begin{equation} \dvTwo{\bvec v}{t} = \mat A \bvec v \end{equation}
的一阶偏微分方程组的解析解(先假设 $\mat A$ 为常矩阵)为
\begin{equation} \bvec v(t) = \expRound{\mat At} \bvec v(0) \end{equation}
其中矩阵的指数函数由泰勒级数定义
\begin{equation} \expRound{\mat M} = 1 + \mat M + \frac1{2!} \mat M^2 + \dots \end{equation}
式 2 写成矩阵级数的形式即可验证式 1

形式解

   当式 1 中的 $\mat A$ 是 $t$ 的函数 $\mat A(t)$ 时, 我们可以取微小时间步长 $\Delta t$, 在每个 $\Delta t$ 内近似认为 $\mat A(t_i)$ 为常数, 再取极限

\begin{equation} \bvec v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \prod \exp[\mat A(t_i)\Delta t] \bvec v(0) \end{equation}
如果两个矩阵 $\mat P, \mat Q$ 对易, 就有
\begin{equation} \expRound{\mat P}\expRound{\mat Q} = \expRound{\mat P + \mat Q} \end{equation}
但一般来说 $\mat A(t_i)$ 之间不对易, 所以我们定义一个时间排序算符 $\Q{\mathcal T}$ 使例如
\begin{equation} \Q {\mathcal T} [\mat A(t_1) \mat A(t_3) \mat A(k_2)] = \mat A(t_3) \mat A(t_2) \mat A(t_1) \qquad ( t_1 < t_2 < t_3 ) \end{equation}
这样通解在形式上就可以记为
\begin{equation} \bvec v(t) = \Q {\mathcal T} \expRound{\int_0^ t \mat A(t')\dd t'} \bvec v(0) \end{equation}
然而这么做对于数值计算并没有太大意义.

   Expokit 是一个数学包可以用于计算矩阵的指数函数(Fortran 和 Matlab).

数值计算

   如果矩阵 $\bvec M$ 是厄米矩阵, 则可以先做对角化 $\mat M = \mat U \mat \Lambda \mat U\Her$, 其中 $\mat \Lambda$ 是对角矩阵, $\mat U$ 是酋矩阵. 这样就有

\begin{equation} \expRound{\mat M} = \mat U \mat U\Her + \mat U\mat \Lambda\mat U\Her + \mat U\frac1{2!} \mat \Lambda^2 \mat U\Her + \dots = \mat U \expRound{\mat \Lambda} \mat U\Her \end{equation}
由于对角矩阵相乘等于每个对角元分别相乘, 把 $\mat\Lambda$ 的每个矩阵元求指数函数就可以得到 $\expRound{\mat \Lambda}$. 这样做可以减少计算量.

   事实上, 以上做法相当于分离变量, 当 $\mat A$ 是厄米矩阵时, 令 $\bvec v(t) = f(t)\bvec u$, 代入方程得

\begin{equation} \frac{f'(t)}{f(t)} \bvec u = \mat A \bvec u \end{equation}
由于 $\mat A$ 和 $\bvec u$ 都不含时, 所以可以令
\begin{equation}\ali{ &\mat A \bvec u = \lambda \bvec u \\ & f(t)' = \lambda f(t) }\end{equation}
其中第一个方程是 $\mat A$ 的本征方程, 解为 $N$ 个本征矢 $\bvec u_i$ (即 $\mat U$ 的第 $i$ 列) 和 $N$ 个本征值 $\lambda_i$ (即 $\mat \Lambda$ 的第 $i$ 个对角元). 第二条方程的解为 $f(t) = \expRound{\lambda t}$. 所以方程的通解为
\begin{equation} \bvec v(t) = \sum_{i = 1}^N c_i f_i(t) \bvec u_i = \sum_{i = 1}^N \mat u_i\Her \bvec v(0) \expRound{\lambda_i t} \bvec u_i = \mat U \expRound{\Lambda t} \mat U\Her \bvec v(0) \end{equation}

   在此基础上使用 Lanczos 算法可以进一步提高效率.

Split Operator

   有时候我们希望可以在上述计算中把 $\mat A$ 写成几个矩阵的和的形式(以两个为例) $\mat A = \mat B + \mat C$. 当 $\mat B$ 和 $\mat C$ 对易时显然有

\begin{equation} \expRound{\mat At} = \expRound{\mat Bt}\expRound{\mat Ct} \end{equation}
在程序中这么做可能可以进一步提高速度1. 如果 $\mat B$ 和 $\mat C$ 不对易, 严格来说上式不成立, 但可以证明 $t \to 0$ 时近似成立
\begin{equation}\ali{ & \quad \expRound{\mat Bt}\expRound{\mat Ct} \\ & = \qtyRound{1+\mat Bt+\frac{1}{2!}\mat B^2t^2 + \dots}\qtyRound{1+\mat Ct+\frac{1}{2!}\mat C^2t^2 + \dots}\\ & = 1 + (\mat B+\mat C)t + \frac{1}{2!}\qtyRound{\mat B^2 + \mat C^2 + 2\mat B\mat C} t^2 + \dots\\ & = \expRound{\mat At} + \order{t^2} }\end{equation}
这里的 $\order{t^2}$ 是由于第二个等号后面是 $2\mat B\mat C$ 而不是 $\mat B\mat C + \mat C\mat B$.


1. 例如二维波函数的动能算符 $T = T_x + T_y$

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