图

一阶线性微分方程

预备知识 常微分方程

   具有以下形式的微分方程叫做一阶线性微分方程

\begin{equation} \dvTwo{y}{x} + p(x)y = f(x) \end{equation}
一般地, 未知函数及其各阶导数都各占一项时, 方程就是线性的. 另外,如果 $f(x)$ 项不出现, 方程就是齐次的, 否则就是非齐次的. 我们先来看以上方程对应的齐次方程
\begin{equation} \dvTwo{y}{x} + p(x)y = 0 \end{equation}
这是一个可分离变量的方程, 分离变量得
\begin{equation} \frac{\dd{y}}{y} = -p(x) \dd{x} \end{equation}
两边积分得
\begin{equation} \ln\abs{y} = -\int p(x) dx + C \end{equation}
两边取自然指数得
\begin{equation} y = \pm \E^C \E^{-\int p(x) \dd{x}} \end{equation}
把 $\pm \E^C $ 整体看做一个任意常数 $C$, 上式变为.
\begin{equation} y = C \E^{-\int p(x) \dd{x}} \end{equation}
这就是一阶线性齐次微分方程式 2 的通解, 也叫式 1 齐次解

常数变易法

   现在我们用常数变易法来解非齐次方程式 1 . 为书写方便, 式 6 中令 $y_0(x) = \expRound{-\int p(x) \dd{x}}$. 假设上式中的 $C$ 是一个函数 $C(x)$ 而不是常数, 代入式 1

\begin{equation} C'y_0 + C[y_0' + p(x)y_0] = f(x) \end{equation}
由于 $y_0$ 是齐次解, 上式方括号中求和为 0, 分离变量得
\begin{equation} \dd{C}= \frac{f(x)}{y_0} \dd{x} \end{equation}
两边积分得
\begin{equation} C(x) = \int \frac{f(x)}{y_0} \dd{x} \end{equation}
所以一阶线性非齐次微分方程的通解为
\begin{equation} y = y_0 \int \frac{f(x)}{y_0} \dd{x} \end{equation}
其中
\begin{equation} y_0(x) = \E^{-\int p(x) \dd{x}} \end{equation}
注意待定常数包含在式 10 的不定积分中, 式 11 中的不定积分产生的待定常数在代入式 10 后可消去.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利