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常微分方程

预备知识 简谐振子

   作为一个引入的例子, 我们首先看“简谐振子” 中的式 1 . 一般来说, 含有函数 $y(x)$ 及其高阶导数 $y^{(n)}$, 和自变量 $x$ 的等式叫做常微分方程(简称微分方程1), 即

\begin{equation} f(y^{(N)}, y^{(N-1)}, \dots, y, x) = 0 \end{equation}

   上式中的最高阶导数为 $N$ 阶, 所以可以把上式叫做 $N$ 阶微分方程. 注意方程中必须出现 $y^{(N)}$, 剩下的 $y^{(N-1)}, \dots, y, x$ 可以只出现部分或不出现.所有能使微分方程成立的函数 $f(x)$ 都是方程的, 如果能找到含有参数的函数 $f(x,C_1, \dots , C_N)$, 使所有可能的解都可以通过给 $C_i$ 赋值来表示, 那么这就是函数的通解

   有一些微分方程的解法是显然的, 例如描述自由落体运动 的微分方程为 $\dvStarTwo[2]{y}{t} = g$ (假设 $y$ 轴竖直向下). 要解这个方程, 只需对等式两边进行两次不定积分即可得到通解为 $y = C_1 + C_2 t + gt^2/2$. 一般来说, 如果 $N$ 阶微分方程具有 $y^{(N)} = f(x)$ 的形式, 只需进行 $N$ 次积分即可得到通解.

   另一些方程是可以分离变量的, 我们来看“受阻落体” 这个例子. 若方程可分离变量, 只需先分离变量, 再对等式两边求不定积分即可找到通解.

一阶线性微分方程

二阶线性微分方程


1. 这里的 “常” 强调未知函数只有一个因变量, 用于区别多元微积分中的“偏微分方程”.

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