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范数

预备知识 矢量空间

   一些矢量空间中, 我们可以给每个矢量都定义一个范数, 例如常见的 $N$ 维 “几何矢量” 空间的模长就是一种范数. 同一个矢量空间可以存在多种不同的范数. 如果一个矢量空间中定义了范数, 我们就把它称为赋范空间(normed space)1. 范数通常用双竖线表示, 如 $ \left\lVert v \right\rVert $. 范数必须满足以下条件

  1. $ \left\lVert v \right\rVert \geqslant 0$ (正定)
  2. $ \left\lVert v \right\rVert = 0$ 当且仅当 $v = 0$
  3. $ \left\lVert \lambda v \right\rVert = \left\lVert \lambda \right\rVert v$
  4. $ \left\lVert v_1 + v_2 \right\rVert \leqslant \left\lVert v_1 \right\rVert + \left\lVert v_2 \right\rVert $ (三角不等式)

   下面是一些常见的范数定义.

列矢量的 $n$-范数

   定义 $\mathbb R^N$ 或 $\mathbb C^N$ 空间(即 $N$ 维实数或复数列矢量空间) 的 $n$-范数

\begin{equation} \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rVert _n = \left(\sum_i \left\lvert x_i \right\rvert ^n \right) ^{1/n} \end{equation}
物理中常见的是 2-范数, 也叫欧几里得范数(Euclidean norm)
\begin{equation} \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rVert _2 = \sqrt{ \left\lvert x_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert x_2 \right\rvert ^2 + \dots} \end{equation}

   可以证明极限情况 $n \to \infty$ 时, 绝对值最大的 $x_i$ 对求和的贡献将远大于其他分量, 所以定义无穷范数(infinity norm)

\begin{equation} \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rVert _\infty = \max \left\{ \left\lvert x_i \right\rvert \right\} \end{equation}

函数的范数

   多元函数 $f(x_1, \dots x_N)$ 的范数在物理中常定义为

\begin{equation} \left\lVert f \right\rVert = \int \left\lvert f(x_1, \dots, x_N) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x_1} \dots \,\mathrm{d}{x_N} \end{equation}
另一种简单定义是使用函数的最大值
\begin{equation} \left\lVert f \right\rVert = \max \left\{ \left\lvert f(x_1, \dots, x_N) \right\rvert \right\} \end{equation}


1. 满足一定收敛条件的赋范空间也叫做 巴拿赫空间(Banach space), 有限维的赋范空间必定是巴拿赫空间.

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