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无单位的物理公式

预备知识 万有引力, 物理量和单位转换

   与数学公式不同,物理公式中的变量(即物理量)通常既包含数值又包含单位,如 $x = 10 \,\mathrm{cm} $. 但有时候我们需要将含有单位的公式转换为不含单位的物理公式. 例如数值计算时, 或者为了书写简单(常见于量子力学, 见原子单位). 我们通过几个例子来说明转换过程.

例1 牛顿第二定律

   国际单位制下的牛顿第二定律公式为

\begin{equation} F = ma \end{equation}
我们先定义几个含单位的常量例如 $\beta_{F} = 1 \,\mathrm{N} $,$\beta_{m} = 1 \,\mathrm{kg} $,$\beta_{a} = 1 \,\mathrm{m/s^2} $. 把不含单位的的力,质量和加速度分别为 $F_0, m_0, a_0$, 则有 $F = F_0 \beta_F$, $m = m_0 \beta_{m}$, $a = a_0 \beta_{a}$. 代入上式得
\begin{equation} F_0 = \frac{\beta_m \beta_a}{\beta_F} m_0 a_0 \end{equation}
由于国际单位定义 $1 \,\mathrm{N} = 1 \,\mathrm{kg} \cdot \,\mathrm{m/s^2} $, 上式中 $\beta_m \beta_a/\beta_F = 1$, 所以不含单位的牛顿第二定律为
\begin{equation} F_0 = m_0 a_0 \end{equation}
以上的做法看起来似乎并没有什么意义, 这是因为我们把每个常量 $\beta$ 都定义为一个相应的国际单位. 事实上,只要保证 $\beta_m \beta_a/\beta_F = 1$, 这三个常量是可以任取的. 例如令 $\beta_m = 4 \,\mathrm{g} $, $\beta_a = 25 \,\mathrm{cm/s^2} $, $\beta_F = 10^{-3} \,\mathrm{N} $,上式仍然成立. 有了这个变换, 有时候我们只需要做一次计算就能得到不同参数下的结果.

例2 万有引力公式

   国际单位下的万有引力公式为

\begin{equation} F = G\frac{Mm}{r^2} \end{equation}
其中 $G \approx 6.674\times 10^{-11} \,\mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}} $. 在例 1 的基础上定义 $r = \beta_x r_0$,则有
\begin{equation} F_0 = \frac{G\beta_m^2}{\beta_F \beta_x^2} \frac{M_0 m_0}{r_0^2} \end{equation}
我们若想让新的不含单位的万有引力公式也不含 $G$ 以减少计算量,即
\begin{equation} F_0 = \frac{M_0 m_0}{r_0^2} \end{equation}
只需令所有的 $\beta$ 满足 $G\beta_m^2/(\beta_F\beta_x^2) = 1$, 例如 $\beta_x = 1 \,\mathrm{m} $, $\beta_m = 1.224\times 10^5 \,\mathrm{kg} $, $\beta_F = 1 \,\mathrm{N} $.

   注意无单位的物理公式和有单位的物理公式(无论用什么单位)存在本质的不同, 例如在式 3 中, 如果受力物体的质量恰好等于 $\beta_m$, 那么公式可以直接写为

\begin{equation} F_0 = a_0 \end{equation}
而这种写法对含单位的公式来说是错误的, 因为单位不同的两个物理量不可以相等(或相加).

无单位公式转换为含单位公式

   对某个物理量 $Q$, 有

\begin{equation} Q = \beta_Q Q_0 \end{equation}
要把无单位公式变为含单位公式, 就把式中所有 $Q_0$ 用 $Q/\beta_Q$ 替换即可. 以式 6 为例, 替换后得
\begin{equation} F = \frac{\beta_F\beta_x^2}{\beta_m^2} \frac{Mm}{r^2} = G\frac{Mm}{r^2} \end{equation}

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