图

牛顿—莱布尼兹公式

预备知识 不定积分,定积分

   牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系.我们已知不定积分是求导的逆运算,而定积分是函数曲线与 $x$ 轴之间的面积,二者乍看起来没什么联系,但牛顿—莱布尼兹公式却揭示了了二者之间的重要关系.

   若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,则

\begin{equation} \int_a^b f(x) \dd{x} = F(b) - F(a) \end{equation}

推导

图
图1:右图中 $f(x)$ 的原函数为左图中的 $F(x)$, 当步长趋近 0 时,右图中的长方形面积趋近于左图中小竖线的长度.

   如图 1 , 根据定积分 的定义,有1

\begin{equation} \int_a^b f(x) \dd{x}= \lim_{\Delta x_i\to 0}\sum_i f(x_i)\Delta x_i \end{equation}
其中 $f(x_i)\Delta x_i$ 可看成是右图中第 $i$ 个小矩形的面积,求和是对从 $a$ 到 $b$ 的所有小矩形求和.现在不妨把 $x_i$ 设为第 $i$ 个小矩形左端的 $x$ 坐标. 考虑到求导是不定积分的逆运算,有 $f(x_i)=F'(x_i)$, 所以小矩形的面积变为
\begin{equation} f(x_i)\Delta x_i = F'(x_i)\Delta x_i \approx \Delta F_i = F(x_{i+1})-F(x_i) \end{equation}
最后一步使用了微分近似. 该式可以理解成,右图中的小矩形面积约等于左图中的小竖线长度,即原函数 $F(x)$ 在 $x_i$ 到 $x_{i+1}$ 间的增量.当取极限 $\Delta x_i \to 0$ 时,上式取等号.代回式 1 , 有
\begin{equation} \int_a^b f(x) \dd{x}= \lim_{\Delta x_i\to 0}\sum_i [F(x_{i+1})-F(x_i)] = F(b)-F(a) \end{equation}
该式可理解为,如果把左图中每一段 $\Delta x_i$ 所对应的微小增量 $\Delta F_i$ 都加起来,再取极限 $\Delta x_i \to 0$, 就是 $F(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的总增量. 在计算定积分的过程中, 为了书写简洁, 我们往往将上式中的 $F(b) - F(a)$ 记为 $\eval{F(x)}_a^b$.

例1 计算定积分

\begin{equation} \int_{-l}^l \sinRound[2]{\frac{n\pi}{l} x} \dd{x} \end{equation}

图
图2:$y = \sinRound[2]{\pi x/l}$ 的定积分

   先计算对应的不定积分.由积分表 中的式 13 结合式 1 得不定积分为

\begin{equation} \int\sin^2(\frac{n\pi}{l} x) \dd{x} = \frac{l}{2n\pi} \qtySquare{\frac{n\pi}{l} x - \sinRound{\frac{n\pi}{l} x}\cosRound{\frac{n\pi}{l} x}} \end{equation}
再利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分结果为 l. 计算该定积分还有另一种更简单的几何方法(见图 2 ),由于被积函数的对称性,函数曲线可将区间 $[-l,l]$ 内高为 1 的长方形(面积为 $2l$ )划分成等面积的上下两部分,曲线下方的面积 $l$ 就是定积分的结果.

例2 圆的面积

   现在我们可以用例 2 中列出的两个定积分计算圆的面积. 先看第一个定积分, 由积分表式 17

\begin{equation} \int \sqrt{R^2 - x^2} \dd{x} = \frac12 \qtyRound{x\sqrt{R^2 - x^2} + R^2\arcsin\frac{x}{R}} + C \end{equation}
由牛顿—莱布尼兹公式, $-R$ 到 $R$ 的定积分为 $\pi R^2/2$, 所以圆的面积为 $\pi R^2$.

   第二个定积分要简单得多, 由幂函数的积分式 2 和牛顿—莱布尼兹公式得

\begin{equation} \int_0^R 2\pi r \dd{r} = \pi \eval{r^2}_0^R = \pi R^2 \end{equation}

例3 球壳与球盖的面积

   现在我们可以直接求例 3 中的积分

\begin{equation} S = 2\pi R^2 \int_0^{\pi} \sin\theta \dd{\theta} = 2\pi R^2 \eval{(-\cos\theta)}_0^\pi = 4\pi R^2 \end{equation}
我们还可以将积分上下限任意改变, 得到球面上一个环形曲面的面积
\begin{equation} S = 2\pi R^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta \dd{\theta} = 2\pi R^2 (\cos{\theta_1} - \cos{\theta_2}) \end{equation}
当 $\theta_1 = 0$ 且 $\theta_2 = \alpha$ 时, 我们就得到了球盖的面积
\begin{equation} S = 2\pi R^2 (1 - \cos\alpha) \end{equation}

对定积分上下限求导

   有时候我们会需要对定积分的上下限求导, 例如

\begin{equation} \dv{x} \int_a^x f(t) \dd{t} \end{equation}
我们可以先对定积分用牛顿莱布尼兹公式, 令原函数为 $F(x)$, 有
\begin{equation} \dv{x} \int_a^x f(t) \dd{t} = \dv{x} \qtySquare{F(x) - F(a)} = f(x) \end{equation}

   类似地, 对积分下限求导如

\begin{equation} \dv{x} \int_x^a f(t) \dd{t} = \dv{x} \qtySquare{F(a) - F(x)} = -f(x) \end{equation}
或者对上下限同时求导如
\begin{equation} \dv{x} \int_{-x}^{x} f(t) \dd{t} = \dv{x} \qtySquare{F(x) - F(-x)} = f(x) + f(-x) \end{equation}


1. 这里假设极限存在.

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