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一种 Gibbs 算符的运算方法

   在用 $\grad$ 算符计算梯度, 散度和旋度时, 我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算, 唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对哪些变量进行的. 例如

\begin{align} \div(U\bvec A) &= \pdv{x} (UA_x) + \pdv{y} (UA_y) + \pdv{z} (UA_z)\\ (\bvec A \vdot \grad) U &= A_x \pdvTwo{U}{x} + A_y \pdvTwo{U}{y} + A_z \pdvTwo{U}{z} \end{align}
如果以上两式中把 $\grad$ 符号替换成一个普通的矢量, 两式将没有任何区别. 可见 $\grad$ 符号包含了另一层信息, 这个信息通过 $\grad$ 所在的位置来体现, 但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$, 把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明, 而在方括号内的 $\grad$ 可以像普通矢量一样进行运算, 例如
\begin{equation} [\div(U\bvec A)]_{A\partial U} \equiv [\bvec A\vdot \grad U]_{A\partial U} \equiv [U\div \bvec A]_{A\partial U} \equiv \bvec A \vdot\grad U \end{equation}
又如, 利用矢量公式 $\bvec A\cross(\bvec B\cross \bvec C) = \bvec B (\bvec A\vdot \bvec C) - \bvec C(\bvec A\vdot\bvec B)$, 有
\begin{equation} [\curl (\bvec A\cross\bvec B)]_{\partial (AB)} = [\bvec A (\div \bvec B) + \bvec B (\div \bvec A)]_{\partial (AB)} \end{equation}
另外, 由乘法的求导法则,有
\begin{equation} [\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B} \end{equation}
使用这个新符号, 我们可以化简许多常用的矢量公式.

例1 

   证明 $\curl(U\bvec A) = (\grad U) \cross\bvec A + U \curl\bvec A$.

\begin{equation}\ali{ {}[\curl (U\bvec A)]_{\partial(UA)} &= [\curl (U\bvec A)]_{A\partial U} + [\curl (U\bvec A)]_{U\partial A}\\ &= [(\grad U) \cross\bvec A]_{A\partial U} + [U \curl\bvec A]_{U\partial A}\\ &= (\grad U) \cross\bvec A + U \curl\bvec A }\end{equation}
证毕.

例2 

   化简 $\curl(\curl \bvec E)$.

\begin{equation} {}[\curl(\curl \bvec E)]_{\partial^2 E} = [\grad(\div\bvec E) - \laplacian \bvec E]_{\partial^2 E} = \grad(\div\bvec E) - \laplacian \bvec E \end{equation}

例3 

   证明 $\grad(\bvec F \vdot \bvec G) = \bvec F\cross(\curl \bvec G) + \bvec G\cross (\curl F) + (\bvec F\vdot\grad)\bvec G + (\bvec G\vdot\grad)\bvec F$.

   从右向左证明, 上式等于

\begin{equation}\ali{ {}&[\bvec F\cross(\curl \bvec G)]_{F\partial G} + [\bvec G\cross (\curl F)]_{G\partial F} + [(\bvec F\vdot\grad)\bvec G]_{F\partial G} + [(\bvec G\vdot\grad)\bvec F]_{G\partial F}\\ &= [\grad (\bvec F\vdot\bvec G) - (\bvec F\vdot\grad)\bvec G]_{F\partial G} +[\grad(\bvec F\vdot\bvec G) - (\bvec G \vdot\grad)\bvec F]_{G\partial F} \\ & \qquad + [(\bvec F\vdot\grad)\bvec G]_{F\partial G} + [(\bvec G\vdot\grad)\bvec F]_{G\partial F}\\ &= [\grad(\bvec F\vdot\bvec G)]_{F\partial G} + [\grad(\bvec F\vdot\bvec G)]_{F\partial G}\\ &= [\grad(\bvec F\vdot\bvec G)]_{\partial (FG)} = \grad(\bvec F\vdot\bvec G) }\end{equation}
证毕.

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