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一种矢量算符的运算方法

预备知识 矢量算符, 连续叉乘的化简

   声明: 本文中的方法是笔者原创, 使用的下标符号也是笔者自己定义的.

   在用 $ \boldsymbol\nabla $ 算符计算梯度, 散度和旋度时, 我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算, 唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对哪些变量进行的. 例如

\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) &= \frac{\partial}{\partial{x}} (UA_x) + \frac{\partial}{\partial{y}} (UA_y) + \frac{\partial}{\partial{z}} (UA_z)\\ ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) U &= A_x \frac{\partial U}{\partial x} + A_y \frac{\partial U}{\partial y} + A_z \frac{\partial U}{\partial z} \end{align}
如果以上两式中把 $ \boldsymbol\nabla $ 符号替换成一个普通的矢量, 两式将没有任何区别. 可见 $ \boldsymbol\nabla $ 符号包含了另一层信息, 这个信息通过 $ \boldsymbol\nabla $ 所在的位置来体现, 但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$, 把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明, 而在方括号内的 $ \boldsymbol\nabla $ 可以像普通矢量一样进行运算, 例如
\begin{equation} [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U} \equiv [ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U]_{A\partial U} \equiv [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U} \equiv \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U \end{equation}
又如, 利用矢量公式 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )$, 有
\begin{equation} [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )]_{\partial (AB)} = [ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial (AB)} \end{equation}
另外, 由乘法的求导法则,有
\begin{equation} [\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B} \end{equation}
使用这个新符号, 我们可以化简许多常用的矢量公式.

例1 

   证明 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $.

\begin{equation} \begin{aligned} {}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial(UA)} &= [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U} + [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{U\partial A}\\ &= [( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U} + [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{U\partial A}\\ &= ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{aligned} \end{equation}
证毕.

例2 

   化简 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )$.

\begin{equation} {}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )]_{\partial^2 E} = [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ]_{\partial^2 E} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}

例3 

   证明 $ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} ) + \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} F) + ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} + ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} $.

   从右向左证明, 上式等于

\begin{equation} \begin{aligned} {}&[ \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} F)]_{G\partial F} + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} +[ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F} \\ & \qquad + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{\partial (FG)} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) \end{aligned} \end{equation}
证毕.

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