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度量空间

定义1 度量空间
一个集合中任意两个元素 $u, v$ 间若定义了满足以下条件的距离函数(distance function) $d(u, v)$, 那它就是一个度量空间. 集合中的每个元素就叫空间中的一个
  • $d(u, u) = 0$
  • $d(u, v) > 0$
  • $d(u, v) = d(v, u)$
  • $d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$
习题1 欧几里得空间

   $N$ 维欧几里得空间 $\mathbb R^N$ 中若定义距离函数为

\begin{equation} d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i - y_i)^2} \end{equation}
那么它是一个度量空间.

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图1:用维恩图表示几种不同空间之间的关系, 从内到外分别是内积空间, 赋范空间, 度量空间, 拓扑空间(来自维基百科)
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