图

介质中的波动方程

   对非磁介质

\begin{equation} \curl (\curl \bvec E) = -\mu_0 \pdvTwo[2]{\bvec D}{t} \end{equation}
平面波时
\begin{equation} \laplacian \bvec E - \mu_0 \pdvTwo[2]{\bvec D}{t} = 0 \end{equation}
\begin{equation} \bvec D = \epsilon_0 \bvec E + \bvec P = \epsilon_0(1 + \tilde\chi)\bvec E + \bvec P^{NL} = \tilde \epsilon \bvec E + \bvec P^{NL} \end{equation}
\begin{equation} \laplacian\bvec E - \mu_0\tilde\epsilon \pdvTwo[2]{\bvec E}{t} = \mu_0 \pdvTwo[2]{\bvec P^{NL}}{t} \end{equation}

   波浪号表示复数,$\tilde\epsilon$ 和 $\tilde\chi$ 都只是 $\omega$ 而不是场强的函数. 先来看线性的情况( $\bvec P^{NL} = \bvec 0$ ), 例如洛伦兹模型.

\begin{equation} \laplacian\bvec E - \mu_0 \tilde\epsilon \pdvTwo[2]{\bvec E}{t} = \bvec 0 \end{equation}
(见齐次波动方程, 先做时间傅里叶变换, 再解齐次亥姆霍兹方程, 通解是所有平面波) 然而这里的 $\tilde k^2 = \mu_0 \tilde \epsilon \omega$ 是复数, 平面波变为指数衰减的单频单向波. 以 $z$ 方向传播 $x$ 方向极化为例, 令 $\tilde k = k + \kappa$
\begin{equation} E_x(z,t) = \tilde E_{0x} \E^{\I(\tilde kz - \omega t)} = \tilde E_{0x} \E^{-\kappa z} \E^{\I(kz - \omega t)} \end{equation}
\begin{equation} \tilde k = \omega \sqrt{\mu_0\tilde\epsilon} = \frac{\omega }{c}\sqrt {1 + \chi ^{(1)}} \end{equation}
通解仍然为所有可能的单频单向波的线性组合. 实折射率和吸收系数定义为
\begin{equation} n = \frac{ck}{\omega } = \Re\qtySquare{\sqrt{1 + \chi ^{(1)}}} \approx 1 + \frac12 \Re\qtySquare{\chi^{(1)}} \end{equation}
\begin{equation} \alpha = 2\kappa = \frac{2\omega}{c} \Im\qtySquare{\sqrt{1+\chi^{(1)}}} \approx \frac{\omega}{c}\Im\qtySquare{\chi ^{(1)}} \end{equation}
\begin{equation} \tilde \epsilon = \epsilon_0 (n + \I \alpha c/2\omega )^2 \end{equation}

   注意区分 $\epsilon$ (permittivity), $\epsilon_r$ (dielectric constant) 和 $\chi$ (susceptivility). 有时候 $\epsilon_r$. 不同的书符号可能不一样,以名称和语境为准.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利