介质中的波动方程
对非磁介质
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = -\mu_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{D}} }}{\partial{t}^{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \mu_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{D}} }}{\partial{t}^{2}} = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} = \epsilon_0(1 + \tilde\chi) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{NL} = \tilde \epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{NL}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \mu_0\tilde\epsilon \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = \mu_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{NL}}}{\partial{t}^{2}}
\end{equation}
波浪号表示复数，$\tilde\epsilon$ 和 $\tilde\chi$ 都只是 $\omega$ 而不是场强的函数． 先来看线性的情况（ $ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{NL} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ ）， 例如洛伦兹模型．
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} - \mu_0 \tilde\epsilon \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} = \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
\begin{equation}
E_x(z,t) = \tilde E_{0x} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (\tilde kz - \omega t)} = \tilde E_{0x} \mathrm{e} ^{-\kappa z} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (kz - \omega t)}
\end{equation}
\begin{equation}
\tilde k = \omega \sqrt{\mu_0\tilde\epsilon} = \frac{\omega }{c}\sqrt {1 + \chi ^{(1)}}
\end{equation}
\begin{equation}
n = \frac{ck}{\omega } = \operatorname{Re} \left[\sqrt{1 + \chi ^{(1)}} \right] \approx 1 + \frac12 \operatorname{Re} \left[\chi^{(1)} \right]
\end{equation}
\begin{equation}
\alpha = 2\kappa = \frac{2\omega}{c} \operatorname{Im} \left[\sqrt{1+\chi^{(1)}} \right] \approx \frac{\omega}{c} \operatorname{Im} \left[\chi ^{(1)} \right]
\end{equation}
\begin{equation}
\tilde \epsilon = \epsilon_0 (n + \mathrm{i} \alpha c/2\omega )^2
\end{equation}
注意区分 $\epsilon$ （permittivity）， $\epsilon_r$ （dielectric constant） 和 $\chi$ （susceptivility）． 有时候 $\epsilon_r$． 不同的书符号可能不一样，以名称和语境为准．
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