图

平均值的不确定度

   例题: 比如说有一个概率分布 $y = f(x)$. 它的

   平均值(数学期望)为 $\bar x = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \dd{x}$,

   方差为 $\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar x)^2 f(x) \dd{x} = \qtyRound{\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \dd{x} } - \bar x^2 = \overline{x^2} - \bar x^2$

   标准差为 $\sigma_x = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar x)^2 f(x) \dd{x}} $.

   如果测量一个数据, 这三个值就可以用来衡量这个数据的特征.

   但如果测量 $n$ 次平均值, 那显然平均值显然要比一次测量更可靠, ${\sigma_{\bar x}} < {\sigma_x}$. 各种教科书上都会给出 ${\sigma_{\bar x}} = \frac{1}{\sqrt n }{\sigma_x}$ 或者 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac{1}{n}\sigma_x^2$. 那么这个公式到底怎么来的呢?

   其实在上式中, $\sigma_{\bar x}^2$ 的定义是

\begin{equation} \sigma_{\bar x}^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \qtyRound{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i - \bar x}^2 f(x_1) f(x_2)\dots f(x_n) \dd{x_1}\dots \dd{x_n} \end{equation}
下面就从这个定义证明 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac{1}{n}\sigma_x^2$.

   先考虑两次测量, 即 $n = 2$ 的情况. 先后得到 $x_1, x_2$ 的概率密度是 $f_2(x_1, x_2) = f(x_1) f(x_2)$ . 不难证明归一化:

\begin{equation} \iint f(x_1) f(x_2) \dd{x_1} \dd{x_2} = \int f(x_1) \dd{x_1} \int f(x_2) \dd{x_2} = 1 \times 1 = 1 \end{equation}

   先看 $(x_1 + x_2)/2$ 的平均值, 令 $y = (x_1 + x_2)/2$.

\begin{equation}\ali{ \bar y &= \iint \frac{x_1+x_2}{2} f(x_1) f(x_2) \dd{x_1} \dd{x_2} \\ & = \frac12 \int {{x_1} f(x_1) \dd{x_1}} \int f(x_2) \dd{x_2} + \frac12 \int f(x_1) \dd{x_1} \int x_2 f(x_2) \dd{x_2}\\ &= \frac{\bar x}{2} + \frac{\bar x}{2} = \bar x }\end{equation}
结论是, 进行两次测量取平均值, 数学期望就是测量一次的数学期望. 这个结论是符合常识的.

   根据同样的方法, 可以测量方差.

\begin{equation}\ali{ \sigma_{\bar x}^2 &= \iint \qtyRound{\frac{x_1+x_2}{2} - \bar x}^2 f(x_1) f(x_2) \dd{x_1}\dd{x_2}\\ &= \frac12 \qtyRound{\overline{x^2} - \bar x^2} = \frac12 \sigma_x^2 }\end{equation}
所以 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac12 \sigma_x^2$, 且 $\sigma_{\bar x} = \frac{1}{\sqrt 2 }\sigma_x$

   对于 $n > 2$ 的情况, 利用求和符号和积分运算法则, 也很容易证明 $\sigma_{\bar x} = \frac{1}{\sqrt n} \sigma_x$

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