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矩阵的秩

预备知识 行列式

   我们定义矩阵的列秩等于其线性无关的列数, 行秩等于线性无关的行数. 可以证明, 对于任意尺寸的矩阵, 二者是相同的, 所以简称为矩阵的

   根据定义, 一个矩阵的秩必定小于或等于矩阵的行数以及列数(取较小者). 对于方阵, 若三者相等, 我们就称其为满秩矩阵. 判断满秩矩阵的一种常用方法时计算矩阵的行列式, 若结果不为零, 则矩阵是满秩的, 否则不是(定理 3 ). 注意非满秩的情况下行列式并不能判断秩具体是多少.

高斯消元法计算秩

预备知识 高斯消元法

   要确定任意矩阵秩的大小, 我们可以先用高斯消元法将矩阵变换为梯形矩阵. 矩阵的秩数就是梯形矩阵中不为零的行数. 这是因为, 行变换并会不会改变秩, 而梯形矩阵中不为零的行都是线性无关的.

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