图

矩阵的秩

预备知识 矩阵与矢量空间, 直和

   我们先定义矩阵的列秩等于其线性无关的列数, 行秩等于线性无关的行数. 可以证明, 对于任意尺寸的矩阵, 二者是相同的, 所以简称为矩阵的

证明行秩等于列秩

   我们从矢量空间的角度 证明1, 假设矩阵 $A$ 的尺寸为 $N_y \times N_x$, 也分别是 $Y$ 空间和 $X$ 空间的维数.

   定义 $X$ 空间中满足 $A |x\rangle = 0$ 的子空间为 $X$ 的零空间, 记为 $X_0$. $Y$ 空间中满足 $A\Her |y\rangle = 0$ 的子空间为 $Y$ 的零空间, 记为 $Y_0$. 定义整个 $X$ 空间通过 $A$ 映射后得到 $Y$ 的另一个子空间叫 $R$ 空间, 即 $A(X) = R$, 同理定义 $A\Her(Y) = D$. 可以证明(见下文) $X_0$ 与 $D$ 正交且 $Y_0$ 与 $R$ 正交, 且

\begin{equation} X_0 \oplus D = X \qquad Y_0 \oplus R = Y \end{equation}
于是我们可以在 $X$ 和 $Y$ 空间中分别找到一套正交归一基底, 每套又根据两个子空间分为两组. 计算 $A(X)$ 时, $X_0$ 中的基底映射后还是零, 所以其中的基底可以去掉, 只剩下 $D$ 中基底做映射, $A\Her(Y)$ 也同理.
\begin{equation} A(D) = R \qquad A\Her(R) = D \end{equation}
线性映射后的空间维度总是小于等于映射前的维度, 所以如果两个方向都存在映射, 就只能是等于. 所以 $R$ 和 $D$ 的维度相同, 即 $R$ 和 $R\Her$ 线性无关的列数相同, 即 $R$ 线性无关的行数和列数相同. 证毕.

补充证明

   先证明 $R$ 和 $Y_0$ 正交以及式 1 . 我们先在 $R$ 中找到一套 $N_R$ 个正交归一基底 $\ket{r_i}$, 再在 $Y$ 空间中找到剩下 $N_Y - N_R$ 个正交归一基底 $\ket{y_i}$. 对任意 $\ket{x} \in X$ 和, 有 $A \ket{x} \in R$, 所以

\begin{equation} \mel{y_i}{A}{x} = 0 \end{equation}
对两边做厄米共轭得
\begin{equation} \mel{x}{A\Her}{y_i} = 0 \end{equation}
对任意 $\ket{x}$ 都成立, 所以
\begin{equation} A\Her\ket{y_i} = 0 \end{equation}
所以 $\ket{y_i} \in Y_0$. 然而对于任意 $\ket{r} \in R$, 必存在一些矢量 $\ket{x}$ 使
\begin{equation} \mel{r}{A}{x} \ne 0 \iff \mel{x}{A\Her}{r} \ne 0 \end{equation}
所以
\begin{equation} A\Her\ket{r} \ne 0 \end{equation}
即 $\ket{r} \notin Y_0$. 所以 $\ket{y_i}$ 就是 $Y_0$ 的(完备)正交归一基底, 且与 $\ket{r_i}$ 组成 $Y$ 的(完备)正交归一基底. 证毕.

   $X$ 空间的证明同理可得.


1. 本文思路来自超理论坛

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