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矩阵与矢量空间

预备知识 平面旋转矩阵, 矢量空间

   我们已经知道 $M\times N$ 的矩阵可以表示一个 $N$ 维列矢量的线性组合, 得到一个 $M$ 维列矢量.

\begin{equation} \bvec y = \mat A \bvec x \end{equation}
我们可以把这个 $\bvec x$ 看做任意一个 $N$ 维矢量空间(以下称为 $X$ 空间)中某矢量关于某组基底 $\{\bvec x_i\}$ 的坐标, 而把 $\bvec y$ 看做任意一个 $M$ 维矢量空间(以下称为 $Y$ 空间)中某矢量关于某组基底 $\{\bvec y_i\}$ 的坐标.

   这样, 我们就通过矩阵 $\mat A$ 建立了从 $X$ 空间到 $Y$ 空间的一个映射. 即 $X$ 空间的任意矢量 $\bvec x$, 都可以映射到 $Y$ 空间中唯一矢量 $\bvec y$.

   特殊地, 当矩阵 $\mat A$ 为方阵时, 矩阵 $\mat A$ 可以用于表示 $X$ 空间到自身的自映射, 即 $\bvec x$ 和 $\bvec y$ 都是 $X$ 空间中的矢量, 但 $\{\bvec x_i\}$ 和 $\{\bvec y_i\}$ 仍然可以是两组不同的基底.

   由矩阵与列矢量乘法的性质式 17 可知 $X$ 空间中若干个矢量做任意线性组合然后映射到 $Y$ 空间, 等于这些矢量先分别映射到 $Y$ 空间再做同样的线性组合. 我们把这样的映射叫做线性映射1, 矩阵代表的映射都是线性映射.

   作为一个简单的例子, 我们来看平面旋转矩阵

\begin{equation} \mat R_2 = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} \end{equation}
这是一个方阵, 对应二维矢量空间(例如二维几何矢量构成的空间)的自映射. 对于这个矩阵我们有“主动” 和“被动” 两种理解, 前者假设基底不变而矢量旋转, 后者假设矢量不变而基底旋转2. 这个映射中, 映射前后的矢量有一一对应的关系, 我们把它叫做单射. 除了单射外, 我们还可能有多对一映射, 即多个矢量映射后可能得到同一个矢量.

例1 投影矩阵

   我们考虑一个投影变换: 将平面上任意几何矢量投影到 $\uvec x + \uvec y$ 方向上得到该方向的矢量. 已知该变换是线性的, 写出变换矩阵(变换前后使用同一组正交归一基底 $\uvec x_1, \uvec x_2$)

   解: 与“平面旋转矩阵” 中的方法同理, 先考虑各基底的投影变换. $\uvec x_1 = (1, 0)\Tr$ 投影后变为 $(1, 1)\Tr /\sqrt2$, $\uvec x_2$ 投影后同样变为 $(1, 1)\Tr /\sqrt2$, 所以投影变换矩阵即使两个列矢量组成的矩阵

\begin{equation} \mat P = \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{1 && 1\\ 1 && 1} \end{equation}

   注意该变换中虽然每个矢量都映射到唯一的矢量, 但不同的矢量也有可能映射到同一个矢量. 所以这是一个多对一映射.

值域

   式 1 表示的线性映射中, 定义域是 $X$ 空间中的任意矢量, 而值域却不一定是 $Y$ 空间中的所有矢量. 一般来说, 线性映射的值域是 $Y$ 空间的一个子空间, 例如例 1 中投影变换的值域就是沿 $\uvec x_1 + \uvec x_2$ 方向的任意矢量构成的一维矢量空间, 是二维矢量空间中的一个子空间.


1. 以后我们不区分“线性映射” 和“线性变换”.
2. 注意“主动” 和“被动” 并不是两种唯一的理解, 例如我们可以选择让基底顺时针旋转 $\theta/2$, 矢量逆时针旋转 $\theta/2$.

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