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线性方程组与矢量空间

         

预备知识 矩阵与矢量空间, 高斯消元法, 矩阵的秩

   线性方程组可以记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是 $M \times N$ 的矩阵, $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $N$ 维列矢量, $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是 $M$ 维列矢量, $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 表示矩阵与列矢量相乘(式 4 ). $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是已知的, $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是未知的, 即方程组的解.

   从矢量空间的角度来看, $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $N$ 维矢量空间(以下称为 $X$ 空间)中一个矢量关于某组基底的坐标, $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是 $M$ 维矢量空间(以下称为 $Y$ 空间)中一个矢量关于某组基底的坐标. 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以将 $X$ 空间中的任意矢量映射到 $Y$ 空间的对应矢量.

   我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列代表的矢量就是 $X$ 空间中的第 $i$ 个基底映射到 $Y$ 空间的对应矢量. 我们把这 $N$ 个矢量记为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$. 下面我们根据 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的不同性质来分类讨论方程组的解.

   我们知道矩阵的秩等于线性无关的行数, 也等于线性无关的列数, 将其记为 $R$.

满秩方阵($R = M = N$)

   这是最简单的情况, 由于 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 两两线性无关, 它们可以作为 $Y$ 空间的一组基底, 与 $X$ 空间的基底一一对应. 那么这个映射既是单射又是满射.对于 $Y$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $, $X$ 空间都存在唯一的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $. 特殊地,当 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时(即方程是齐次的),唯一解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.

$R = M < N$

   当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩等于 $M$ 且小于 $N$ 时, 映射变为从 $N$ 维空间到更小的 $M$ 维空间 . 虽然任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 仍然映射到唯一的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $, 但任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 却对应无穷多个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $.

   当方程是齐次的时候, $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 对应的所有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 组成 $X$ 空间中的 $N- M$ 维的子空间, 我们把它叫做零空间. 这种情况下,我们希望能解出零空间的一组($N - M$ 个)基底,使得这组基底的任意线性组合都是齐次方程的解.

   对于非齐次方程, 我们可以先求对应的齐次方程组的零空间的一组基底,再求出非齐次方程的任意一个解(特解), 那么非齐次方程组的解集(所有解的集合)就等于零空间中的所有矢量与特解相加. 注意非齐次方程的解集并不构成一个矢量空间, 因为它不包含零矢量($ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 总是对应 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $, 所以不可能是非齐次方程组的解),解集中若干矢量的线性组合也不一定仍然属于解集.

$R < M$

   当 $R < M$ 时, $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 中只有 $R$ 个线性无关的矢量, 在 $Y$ 空间中张成一个 $R$ 维子空间. 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 落在这个子空间中(我们可以通过 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是否与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 线性无关来判断), 方程组就存在解, 如果落在子空间外, 方程组就无解.

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