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线性相关 线性无关

预备知识 矢量空间, 高斯消元法

线性无关

   若我们选择一组 $N$ 个矢量的基底, 并用以坐标的形式给 $M$ 个矢量

\begin{equation} \ali{ \bvec v_1 &= (v_{1,1}, \dots, v_{1,N})\Tr \\ \bvec v_2 &= (v_{2,1}, \dots, v_{2,N})\Tr \\ &\dots \\ \bvec v_M &= (v_{M,1}, \dots, v_{M,N})\Tr }\end{equation}

   如果这 $N$ 个矢量线性无关, 就代表不存在一组 $c_i$ 使它们的线性组合为 0(见式 2

\begin{equation} \sum_{i=1}^M c_i\bvec v_i = 0 \end{equation}
或者说, 任意一个一个矢量无法表示为其他矢量的线性组合(见式 3
\begin{equation} \bvec v_j = \sum_{i \ne j}\frac{c_i}{c_j} \bvec v_i \end{equation}
这种情况下我们令线性无关矢量的个数为 $R = N$.

   如果这些矢量是线性相关的, 就代表存在一组常数 $c_i$ 使它们的线性组合为 0. 或者说它们中至少有一个矢量可以表示为其他矢量的线性组合. 但如果我们依次将所有可以表示为其他矢量的线性组合的矢量排除, 就仍然可以得到 $R$ 个线性无关的矢量($1 \leqslant R < N$).

习题1 

   证明 $(1,0)$, $(1,1)$ 和 $(0,1)$ 这三个矢量中最多有两个矢量线性无关($R = 2$).

高斯消元法求线性相关性

   要求式 1 中线性无关矢量的个数 $R$, 一种简单的方法就是把这些矢量都转置成行矢量组并成一个矩阵 $\mat A$, 使 $A_{i,j} = v_{i,j}$. 然后对矩阵用高斯消元法, 若得到的梯形矩阵有 $R$ 个不全为零的行, 那么这 $M$ 个矢量中就有且仅有 $R$ 个是线性无关的.

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