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莱布尼兹公式

预备知识 高阶导数

   设函数 $u=u(x), v=v(x)$ 均有 $n$ 阶导数, 形如 $y=uv$ 的函数的 $n$ 阶导数, 可由莱布尼兹(Leibniz)公式求出.

   不加推导的给出莱布尼兹公式,可用数学归纳法证明.

\begin{equation} \begin{aligned} (uv)^{(n)}=&u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v'' \\ &+ \cdots +\frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+uv^{(n)} \end{aligned} \end{equation}

   规定一个函数的零阶导数等于函数本身,即 $u^{(0)}=u$, 于是莱布尼兹公式可以写成如下的形式

\begin{equation} (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(u-k)}v^{(k)} \end{equation}

例1 求函数 $y=xe^{-x}$ 的 $n$ 阶导数

   可以通过莱布尼兹方程对该函数直接求 $n$ 阶导数.

\begin{equation} \begin{aligned} (x\E^{-x})^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(\E^{-x})^{(n-k)}\\ &=x(\E^{-x})^{(n)}+n(\E^{(-x)})^{(n-1)}\\ &=x(-1)^n\E^{-x}+n(-1)^{n-1}\E^{-x}\\ &=(-1)^{n-1}(n-x)\E^{-x} \end{aligned} \end{equation}

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