图

拉普拉斯—龙格—楞次矢量

预备知识 开普勒问题

   在开普勒问题中, 我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量(Laplace-Runge-Lenz Vector) (缩写为 LRL 矢量)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为质点动量, $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 为轨道角动量, $k$ 是一个常数(对万有引力 $k = GMm$, 对库仑力 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$. $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为质点位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的单位矢量. 在开普勒问题中, 可以证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个守恒量.

守恒证明

   我们下面证明 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = 0$. 对式 1 求时间导数, 考虑到中心力场中质点角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒, 有

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } \end{equation}
其中由牛顿第二定律 和万有引力定律, 有
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
又由“极坐标中单位矢量的偏导” 得
\begin{equation} \dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } = \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
最后由式 9 , 极坐标系中的角动量等于
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
式 3 式 5 代入式 2
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = -\frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (mr^2\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) - mk\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} =-mk\dot\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ) = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
最后一个等号成立是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $, 可以类比直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $. 证毕.

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