图

拉普拉斯—龙格—楞次矢量

预备知识 开普勒问题

   在开普勒问题中, 我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量(Laplace-Runge-Lenz Vector) (缩写为 LRL 矢量)为

\begin{equation} \bvec A = \bvec p \cross \bvec L - mk \uvec r \end{equation}
其中 $\bvec p$ 为质点动量, $\bvec L$ 为轨道角动量, $k$ 是一个常数(对万有引力 $k = GMm$, 对库仑力 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$. $\uvec r$ 为质点位矢 $\bvec r$ 的单位矢量. 在开普勒问题中, 可以证明 $\bvec A$ 是一个守恒量.

守恒证明

   我们下面证明 $\dot{\bvec A} = 0$. 对式 1 求时间导数, 考虑到中心力场中质点角动量 $\bvec L$ 守恒, 有

\begin{equation} \dot{\bvec A} = \dot{\bvec p}\cross \bvec L - mk\dot{\uvec r} \end{equation}
其中由牛顿第二定律 和万有引力定律, 有
\begin{equation} \dot{\bvec p} = \bvec F = - \frac{k}{r^2}\uvec r \end{equation}
又由“极坐标中单位矢量的偏导” 得
\begin{equation} \dot{\uvec r} = \pdvTwo{\uvec r}{\theta} \dvTwo{\theta}{t} = \dot\theta\uvec \theta \end{equation}
最后由式 9 , 极坐标系中的角动量等于
\begin{equation} \bvec L = mr^2\dot \theta \uvec z \end{equation}
式 3 式 5 代入式 2
\begin{equation} \dot{\bvec A} = -\frac{k}{r^2}\uvec r \cross (mr^2\dot\theta\uvec z) - mk\dot\theta\uvec\theta =-mk\dot\theta (\uvec r\cross \uvec z + \uvec \theta) = \bvec 0 \end{equation}
最后一个等号成立是因为 $\uvec r\cross\uvec z = -\uvec\theta$, 可以类比直角坐标系中的 $\uvec x\cross\uvec z = -\uvec y$. 证毕.

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