拉普拉斯—龙格—楞次矢量

贡献者： int256; addis

预备知识 1　开普勒问题，柱坐标系

　　在开普勒问题中，我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量（Laplace-Runge-Lenz Vector）（缩写为 LRL 矢量）为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~. \end{equation}

其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为质点动量，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 为轨道角动量，$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘，$k$ 是一个常数（对万有引力 $k = GMm$，对库仑力 $k = -Qq/(4\pi\epsilon_0)$。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为质点位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的单位矢量。在开普勒问题中，可以证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个守恒量。

1. 守恒证明

　　我们下面证明 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。对式 1 求时间导数，考虑到中心力场中质点角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒，有

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }~. \end{equation}

其中由牛顿第二定律和万有引力定律/库仑力，有

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~, \end{equation}

又由 “极坐标中单位矢量的偏导” 得

\begin{equation} \dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } = \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~. \end{equation}

最后由式 9 ，极坐标系中的角动量等于（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是垂直于轨道平面的单位矢量，由右手定则决定，参考柱坐标系）

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}

将式 3 至式 5 代入式 2 得

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = -\frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (mr^2\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) - mk\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} =-mk\dot\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ) = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

最后一个等号成立是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $，可以类比直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $。证毕。

2. 如何发现 LRL 矢量

预备知识 2　运动积分

　　根据分析力学的理论，一个有 $s$ 自由度的系统应当有 $2s-1$ 个运动积分，也就是对时间有 $2s-1$ 个守恒量。而开普勒问题本质是在空间内的三维问题（我们可以降维到二维是因为角动量守恒，使得运动轨迹在同一平面内），有 $s=3$ 的自由度，也就应当有 $2s-1=5$ 个运动积分。容易发现系统能量 $E$、角动量在各方向的分量 $L_x, L_y, L_z$ 共 $4$ 个守恒量，仍然差一个，所以需要考虑构造一个守恒量。

猜测

　　这个方法有一些很巧妙的成分在内。我们首先通过 “猜测” 考虑 LRL 矢量是由 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 构成。$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒，考虑坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} =m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与其的叉积 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $，两者对于时间的全微分 $$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} , \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} ~,$$ 可以计算得到 $$\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{P}} &= \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} /m, \\ \boldsymbol{\mathbf{Q}} &= - \frac{1}{r} \frac{\partial V(r)}{\partial r} \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ~. \end{aligned}$$ 而对于开普勒问题，$V(r) = -k/r$，这样就不难得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m k \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r}\right)}}{\mathrm{d}{t}} =0 ~. \end{equation}

3. LRL 矢量的模长与方向

　　将 LRL 矢量除以 $mk$ 可以得到一个无量纲矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 与 LRL 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 同向（下面会看到为什么这个矢量叫 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $） $$ \boldsymbol{\mathbf{e}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }{mk} = \frac{m}{k} \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)- \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.$$ 考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$，将其代入 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的表达式就会有 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} = m^2 (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} - m^2(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} )\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - km \boldsymbol{\mathbf{r}} /r ~.$$ 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = 0, \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} ^2 - kmr$。后面一个式子可以化为 $Ar\cos \phi = L^2-kmr$，$\phi$ 是轨道的夹角，于是 $$r(\phi) = L^2/(km + A \cos \phi) ~,$$ 也就是 $r(\phi) = (L^2/km)/(1+ (A/km) \cos \phi)$，发现 $A/km$ 就是离心率。这就是 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 得名的原因。

　　而另外的，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 垂直。将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 置于椭圆的几何中心可以发现其与椭圆的长轴是同方向的。所以另外有一有趣推论如下：

推论 1　

　　 LRL 矢量的变化对应轨道方向的变化。对于进动问题来说进动角就是 LRL 矢量变化的角。

　　刚才另外提到了，运动积分应当有 $5$ 个，但是 LRL 矢量有三个分量 $A_x, A_y, A_z$，为什么只对应一个呢？我们发现，有两个约束条件：

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} &= 0 ~, \\ | \boldsymbol{\mathbf{A}} | &= kme = \sqrt{m^2k^2 + 2m E L^2} ~. \end{aligned} \right. \end{equation}

所以实际仅提供了一个运动积分。

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