图

雅可比行列式

   若有坐标系变换

\begin{equation} \leftgroup{ x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w) }\end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation} \pmat{\dd{x}\\ \dd{y}\\ \dd{z}} = \pmat{ \pdvStarTwo{x}{u} & \pdvStarTwo{x}{v} & \pdvStarTwo{x}{w} \\ \pdvStarTwo{y}{u} & \pdvStarTwo{y}{v} & \pdvStarTwo{y}{w} \\ \pdvStarTwo{z}{u} & \pdvStarTwo{z}{v} & \pdvStarTwo{z}{w} } \pmat{\dd{u}\\ \dd{v}\\ \dd{w}} \end{equation}
其中 $\mat J$ 叫做雅可比矩阵.

   考虑 $uvw$ 坐标系中的一个体积元 $(u,v,w)$-$(u + \dd{u}, v + \dd{v}, w + \dd{w})$, 一般情况下(不需要是正交曲线坐标系), 体积元为平行六面体, 起点为 $(u,v,w)$ 的三条棱对应的矢量分别为

\begin{equation} \pmat{\dd{x_1}\\\dd{y_1}\\\dd{z_1}} = \mat J\pmat{\dd{u}\\0\\0} = \pmat{J_{11}\\J_{21}\\J_{31}} \dd{u} \end{equation}
\begin{equation} \pmat{\dd{x_2}\\\dd{y_2}\\\dd{z_2}} = \mat J \pmat{0\\ \dd{v}\\0} = \pmat{J_{12}\\J_{22}\\J_{32}} \dd{v} \end{equation}
\begin{equation} \pmat{\dd{x_3}\\\dd{y_3}\\\dd{z_3}} = \mat J \pmat{0\\0\\\dd{w}} = \pmat{J_{13}\\J_{23}\\J_{33}} \dd{w} \end{equation}
由于平行六面体的体积是同一起点三条矢量的混合积
\begin{equation} \dd{V} = \vmat{ \dd{x_1} & \dd{y_1} & \dd{z_1}\\ \dd{x_2} & \dd{y_2} & \dd{z_2}\\ \dd{x_3} & \dd{y_3} & \dd{z_3}} = \vmat{ \dd{x_1} & \dd{x_2} & \dd{x_3}\\ \dd{y_1} & \dd{y_2} & \dd{y_3}\\ \dd{z_1} & \dd{z_2} & \dd{z_3}} = \abs{\mat J} \dd{u}\dd{v}\dd{w} \end{equation}
其中 $\abs{\mat J}$ 叫做雅可比行列式

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