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反开普勒问题

预备知识 开普勒问题

   在中心力场问题 中, 若 $F(r)$ 是平方反比的斥力, 即

\begin{equation} F(r) = \frac{k}{r^2} \qquad V(r) = \frac{k}{r} \end{equation}
(其中 $k$ 为大于零的常数) 则该问题被称为反开普勒问题. 在我们学过的各种力中, 只有两个同种点电荷间的库仑力满足这一要求.

   在反开普勒问题中, 力心为双曲线的一个焦点, 质点的轨迹为双曲线离力心较远的一支. 与开普勒问题相同, 反开普勒问题中质点的能量 $E$ (质点的动能加势能, $E > 0$) 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小, 且 式 2 式 5 仍然成立

\begin{align} a &= \frac{k}{2E}\\ b &= \frac{L}{\sqrt{2mE}} \end{align}

   推导的过程也和开普勒问题中的类似, 我们只需要将式 11 式 13 过程中的所有负号变为正号即可.

轨道方程推导

预备知识 比耐公式

   将平方反比斥力 $F(r) = k/r^2$ 即 $F(1/u) = ku^2$ 代入比耐公式

\begin{equation} \dvTwo[2]{u}{\theta} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F\qtyRound{\frac 1u} \end{equation}
通解
\begin{equation} u(\theta) = -\frac{1}{p} \qtySquare{1 + e\cosRound{\theta + \phi_0}} \end{equation}
其中
\begin{equation} p = \frac{L^2}{mk} \end{equation}
与开普勒问题中的双曲线轨道(式 7 )相比, 式 5 中的常数项由正号变为负号, 这使得极坐标的双曲线方程表达双曲线离焦点较远的一支(见式 6 ).

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