图

反函数求导

预备知识 导数

结论

   若已知 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$, 则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数为

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} \end{equation}
为了消除上式可能产生的歧义,记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$, $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$. 上式变为
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{h[g(x)]} \end{equation}

反函数存在的条件

   函数 $y = f(x)$, 在某个区间 $(x_1, x_2)$ 内连续且单调,且 $x$ 与 $y$ 一一对应.因为如果一个 $y$ 有多个 $x$ 对应,反函数中将会出现一个 $x$ 对应多个 $y$ 的情况.

反函数的定义

   令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$, $g(x)$, 在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$, $y$ 都满足 $g(y) = x$, 则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数.

证明

图
图1:在同一点处,$f'=\dvStarTwo{y}{x}$, $g'=\dvStarTwo{x}{y}$, 互为倒数

   根据导数和微分的关系, $y = f(x)$ 在 曲线上的某点 $(x_0, y_0)$, 有

\begin{equation} \dd{y} = f'(x_0) \dd{x} \end{equation}
同一点也满足 $g(y_0) = x_0$, 且
\begin{equation} g'(y_0)\dd{y} = \dd{x} \end{equation}
对比式 3 式 4 , 得
\begin{equation} g'(y_0) = \dvTwo{x}{y} = \frac{1}{f'(x_0)} \end{equation}
可见图 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数. 把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式,得
\begin{equation} g'(y_0) = \dvTwo{x}{y} = \frac{1}{f'[g(y_0)]} \end{equation}
上式中, $y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点,所以
\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{f'[g(y)]} \end{equation}
或者用习惯上的 $x$ 作为自变量,得
\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{f'[g(x)]} \end{equation}
证毕.

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