图

一元矢量函数的积分

预备知识 矢量的导数

单变量不定积分

   令 $\bvec f(t)$ 为只有一个自变量的矢量函数, 则与标量函数类似, 定义其不定积分为求导的逆运算. 也就是说, 若能找到 $\bvec F(t)$, 使得 $\bvec F(t)$ 对 $t$ 求导就是 $\bvec f(t)$, 那么 $\bvec F(t) + \bvec C$ ($\bvec C$ 为任意常矢量) 就是定积分的结果, 都是 $\bvec f(t)$ 的原函数.

   在直角坐标系中, 我们已经知道对矢量函数 $\bvec F(t)$ 求导就是对它的每个分量函数分别求导, 即

\begin{equation} \bvec F'(t) = \bvec f(t) \end{equation}
\begin{equation} F'_x(t) = f_x(t) \qquad F'_y(t) = f_y(t) \qquad F'_z(t) = f_z(t) \end{equation}
考虑到标量函数的不定积分是标量函数求导的逆运算, 所以对 $\bvec f(t)$ 不定积分, 只需对它的各个分量分别进行不定积分即可. 注意每个分量函数在不定积分后都会出现一个待定常数, 三个分量中的待定常数相加就得到一个待定常矢量 $\bvec C$.
\begin{equation}\ali{ \int \bvec f(t) \dd{t} &= \uvec x \int f_x(t) \dd{t} + \uvec y \int f_y(t) \dd{t} + \uvec z \int f_z(t) \dd{t}\\ &= [F_x(t)+C_x]\uvec x + [F_y(t)+C_y]\uvec y + [F_z(t)+C_z]\uvec z\\ &= \bvec F(t) + \bvec C }\end{equation}
根据式 1 式 2 , 显然有 $[\bvec F(t) + \bvec C]' = \bvec f(t)$.

单变量定积分

   类比一元标量函数定积分的定义, 要计算一元矢量函数 $\bvec f(t)$ 从 $t_1$ 到 $t_2$ 的定积分, 就先把区间 $[t_1, t_2]$ 分为 $N$ 个小区间, 长度分别为 $\Delta t_i$, 且令 $t_i$ 为第 $i$ 个区间内的任意一点. 当我们取极限令所有区间长度 $\Delta t_i$ 都趋近于 $0$ (这时 $N\to\infty$) 时, 如果以下极限存在, 得到的矢量就是定积分的结果.

\begin{equation} \int_{t_1}^{t_2} \bvec f(t) \dd{t} = \lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N \bvec f(t_i) \Delta t_i \end{equation}
唯一与标量函数的定积分不同的是, 这里的求和是矢量求和. 但在直角坐标系中, 我们可以把上式对矢量的求和表示成对各个分量分别求和, 而每个分量的极限就是一个标量定积分.
\begin{equation}\ali{ \int_{t_1}^{t_2} \bvec f(t) \dd{t} &= \uvec x\lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_x(t_i) \Delta t_i + \uvec y\lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_y(t_i) \Delta t_i + \uvec y\lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_z(t_i) \Delta t_i\\ &= \uvec x\int_{t_1}^{t_2} f_x(t) \dd{t} + \uvec y\int_{t_1}^{t_2} f_y(t) \dd{t} + \uvec z\int_{t_1}^{t_2} f_z(t) \dd{t} }\end{equation}
所以 $\bvec f(t)$ 的定积分就是把直角坐标的各个分量分别进行定积分.现在对三个定积分分别运用牛顿—莱布尼兹公式, $\bvec f(t)$ 的原函数为 $\bvec F(t)$, 各分量的原函数为 $F_x(t), F_y(t), F_z(t)$, 则上式等于
\begin{equation}\ali{ \int_{t_1}^{t_2} \bvec f(t) \dd{t} &= \uvec x [F_x(t_2) - F_x(t_1)] + \uvec y [F_y(t_2) - F_y(t_1)] + \uvec z [F_z(t_2) - F_z(t_1)]\\ &= \bvec F(t_2) - \bvec F(t_1) }\end{equation}
这就是矢量函数的牛顿—莱布尼兹公式.

例1 加速度,速度和位移的积分关系

   由于质点的速度—时间函数 $\bvec v(t)$ 是位移—时间函数 $\bvec r(t)$ 的导函数, 后者就是前者的原函数. 所以根据牛顿—莱布尼兹公式式 6

\begin{equation} \bvec r(t) - \bvec r(t_0) = \int_{t_1}^{t_2} \bvec v(t) \dd{t} \end{equation}
\begin{equation} \bvec r(t) = \bvec r(t_0) + \int_{t_1}^{t_2} \bvec v(t) \dd{t} \end{equation}
这是一维情况式 5 的拓展.

   同理, 由于质点的加速度函数 $\bvec a(t)$ 是速度函数 $\bvec v(t)$ 的导函数, 后者可以通过前者定积分得到

\begin{equation} \bvec v(t) = \bvec v(t_0) + \int_{t_1}^{t_2} \bvec a(t) \dd{t} \end{equation}

   \eentry{匀加速运动}

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