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多元函数积分和宇称

预备知识 定积分

   如果一个 $N$ 维欧几里得空间中的函数 $f(\bvec r) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 满足 $f(-\bvec r) = f(\bvec r)$, 我们就说它具有奇宇称, 如果满足 $f(-\bvec r) = -f(\bvec r)$ 我们就说它有偶宇称

   我们以下要说明的结论是: 在中心对称的定义域(即如果 $\bvec r$ 在定义域中, $-\bvec r$ 也在定义域中), 具有奇宇称的函数的定积分为 0, 具有偶宇称的函数的定积分可能不为 0.

   对于 $N = 1, 2, 3$, 这是容易理解的, 例如一元函数 $\sin x$ 具有奇宇称, 所以在任意对称的区间 $[-a, a]$ 做定积分都为 0. 又例如二元函数 $x^3 + y^3$ 和三元函数 $sin(x + y + z)$ 也具有奇宇称. 证明的思想很简单, 做定积分时每个 $\bvec r$ 处的 “微元”($\dd{x}\dd{y}\dd{z}$) 都会在 $-\bvec r$ 处有一个函数值为相反数的 “微元”, 使两个微元的积分互相抵消.

例1 极坐标中的函数的宇称

   极坐标中的函数

\begin{equation} f(\bvec r) = f(r, \theta) = r\sinRound{\theta} \end{equation}
具有奇宇称(将 $\bvec r$ 变为 $-\bvec r$, 只需要将 $\theta$ 加上 $\pi$ 即可, 而 $\sinRound{\theta + \pi} = -\sin\theta$). 如果在一个圆环形区域上做定积分, 就有
\begin{equation} \int_0^{2\pi} \int_b^a f(r, \theta) \dd{r} \dd{\theta} = 0 \end{equation}

   另一种情况如三维空间中的二维曲面上的积分, 如球谐函数满足(见式 8

\begin{equation} Y_{l,m}(-\uvec r) = (-1)^l Y_{l,m}(\uvec r) \end{equation}
也就是说当 $l$ 为奇数时球谐函数具有奇宇称, 偶数时具有偶宇称. 所以在对整个球面积分时, 前者必为零.

宇称函数相乘

   如果两个函数 $f(\bvec r)$ 和 $g(\bvec r)$ 分别可能具有奇宇称或偶宇称, 它们相乘所得的函数 $h(\bvec r) = f(\bvec r) g(\bvec r)$ 的宇称如何呢? 从定义不难证明, 如果二者宇称相同, 那么 $h(\bvec r)$ 具有偶宇称, 如果一奇一偶, 则是奇宇称.

习题1 

   求球坐标系中函数 $f(\bvec r) = r^{100}\sinRound{99\theta} Y_{l, m}(\uvec r)$ 的宇称.

习题2 

   求单位球面上的积分(星号表示复共轭)

\begin{equation} \int Y_{99, 77}^*(\uvec r) Y_{71, -30}(\uvec r) Y_{53, 20}(\uvec r) \dd{\Omega} \end{equation}

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