图

多元函数积分和宇称

预备知识 定积分

   如果一个 $N$ 维欧几里得空间中的函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1, x_2, \dots, x_N)$ 满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$, 我们就说它具有奇宇称(odd parity), 如果满足 $f(- \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们就说它有偶宇称(even parity)

   我们以下要说明的结论是: 在中心对称的定义域(即如果 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在定义域中, $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 也在定义域中), 具有奇宇称的函数的定积分为 0, 具有偶宇称的函数的定积分可能不为 0.

   对于 $N = 1, 2, 3$, 这是容易理解的, 例如一元函数 $\sin x$ 具有奇宇称, 所以在任意对称的区间 $[-a, a]$ 做定积分都为 0. 又例如二元函数 $x^3 + y^3$ 和三元函数 $sin(x + y + z)$ 也具有奇宇称. 证明的思想很简单, 做定积分时每个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的 “微元”($ \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $) 都会在 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处有一个函数值为相反数的 “微元”, 使两个微元的积分互相抵消.

例1 极坐标中的函数的宇称

   极坐标中的函数

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(r, \theta) = r \sin\left(\theta\right) \end{equation}
具有奇宇称(将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 变为 $- \boldsymbol{\mathbf{r}} $, 只需要将 $\theta$ 加上 $\pi$ 即可, 而 $ \sin\left(\theta + \pi\right) = -\sin\theta$). 如果在一个圆环形区域上做定积分, 就有
\begin{equation} \int_0^{2\pi} \int_b^a f(r, \theta) \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 0 \end{equation}

   另一种情况如三维空间中的二维曲面上的积分, 如球谐函数满足(见式 8

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
也就是说当 $l$ 为奇数时球谐函数具有奇宇称, 偶数时具有偶宇称. 所以在对整个球面积分时, 前者必为零.

宇称函数相乘

   如果两个函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 分别可能具有奇宇称或偶宇称, 它们相乘所得的函数 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的宇称如何呢? 从定义不难证明, 如果二者宇称相同, 那么 $h( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 具有偶宇称, 如果一奇一偶, 则是奇宇称.

习题1 

   求球坐标系中函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = r^{100} \sin\left(99\theta\right) Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 的宇称.

习题2 

   求单位球面上的积分(星号表示复共轭)

\begin{equation} \int Y_{99, 77}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{71, -30}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{53, 20}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利