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线积分

预备知识 矢量的内积,定积分

   我们先来通过一个物理的例子引入曲线积分的概念, 见 “功 功率”.

   下面讨论如何在直角坐标系中具体计算线积分.为书写方便,以下省略积分路径 $C_{ab}$.

   将被积曲线的参数方程表示为1 $x(t),y(t),z(t)$, 则曲线上任意一点都唯一对应一个 $t$ 值.根据微分关系,当 $t$ 增加 $\dd{t}$ 时,曲线上的一小段位移矢量 $\dd{\bvec r} = (\dd{x}, \dd{y}, \dd{z})$ 中

\begin{equation} \dd{x} = x'(t) \dd{t} \qquad \dd{y} = y'(t) \dd{t} \qquad \dd{z} = z'(t) \dd{t} \end{equation}
这样,对曲线上任意一点(对应参数 $t$),$\bvec F$ 可表示成 $t$ 的矢量函数 $\bvec F(t) = \bvec F[x(t),y(t),z(t)]$. $\bvec F$ 的三个分量2 则表示为关于 $t$ 的单变量标量函数
\begin{equation} F_{x_i}(t) = F_{x_i}[x(t),y(t),z(t)] \quad (i = 1,2,3) \end{equation}

   下面将三维空间的线积分转换为三个一元定积分

\begin{equation}\ali{ \int \bvec F(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \bvec F(\bvec r_i) \vdot \Delta \bvec r_i\\ &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_x(\bvec r_i)\Delta {x_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_y(\bvec r_i)\Delta{y_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_z(\bvec r_i)\Delta{z_i} \\ &= \int {F_x}(\bvec r) \dd{x} + \int {F_y}(\bvec r) \dd{y} + \int {F_z}(\bvec r) \dd{z} }\end{equation}
设积分路径 $C_{ab}$ 的起点对应 $t = a$, 终点对应 $t = b$. 结合式 1 , 上面每一项积分可以表示为
\begin{equation} \int F_{x_i}(\bvec r) \dd{x_i} = \int_a^b F_{x_i} [\bvec r(t)] x_i'(t) \dd{t} \quad (i=1,2,3) \end{equation}
计算这三个关于 $t$ 的定积分再相加,就可以得出线积分结果.

例1 计算力场对质点的做功

   令力场为 $\bvec F = \alpha r \,\uvec r$, 一质点从原点出发,沿轨迹 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ 的上半部分移动到 $(a,0)$,求力对质点做的功. 若起点终点不变,轨迹改为延 $x$ 轴,结果又如何?

   我们先来建立运动轨迹的参数方程.由于运动是一个圆,我们可以使用圆的参数方程.把角度作为参数 $t$, $t\in [0,\pi]$.

\begin{equation} \leftgroup{ x(t) &= a(1-\cos t)\\ y(t) &= a \sin t } \qquad \leftgroup{ x'(t) &= a \sin t\\ y'(t) &= a \cos t } \end{equation}
把力场在直角坐标系中表示为 $\bvec F(x,y) = \alpha (x\,\uvec x + y\,\uvec y)$, 两个分量分别为 $F_x = \alpha x, F_y = \alpha y$. 由式 4 $(i=1,2)$, 力场对质点做功等于两个定积分之和
\begin{equation} W = \int \bvec F \vdot \dd{\bvec r} =\int_0^\pi \alpha a(1-\cos t) \cdot a \sin t \dd{t} + \int_0^\pi \alpha a \sin t \cdot a \cos t \dd{t} \end{equation}
注意到第一个积分中的第二项恰好是第二个积分的相反数,所以上式变为
\begin{equation} \int_0^\pi \alpha a^2 \sin t \dd{t} =2 \alpha a^2 \end{equation}

   现在来计算延 $x$ 轴的直线轨迹运动的情况.由于轨迹上处处都有 $y=0$, $F_y = 0$,积分只有 $F_x$ 一项. 另外 $x$ 本身就可以作为轨道参数,即 $x(t) = t, y(t) = 0, x\in [0, 2a]$. 代入式 4 得做功为

\begin{equation} W = \int_0^{2a} \alpha x \dd{x} = 2 \alpha a^2 \end{equation}

   在上例中, 我们发现对于给定的矢量场, 即使路径不同,当起点和终点相同时, 线积分的结果也相同(虽然我们只计算了两条路径, 但这个结论是正确的). 具有这样性质的矢量场叫做保守场,并总存在一个势能函数.


1. 注意这里的 $t$ 不一定代表时间,可以是任意参数,甚至可以是 $x,y,z$ 中的一个.
2. 为了书写简洁,这里定义 $x_1\equiv x, x_2\equiv y,x_3\equiv z$.

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