图

换元积分法

预备知识 不定积分, 复合函数求导

第一类换元积分法

   由复合函数的求导法则, 令 $F'(x) = f(x)$, 则

\begin{equation} \dv{x} F[u(x)] = f[u(x)]u'(x) \end{equation}
由于求导的逆运算是积分,有
\begin{equation} \int f[u(x)]u'(x) \dd{x} = F[u(x)] + C \end{equation}
所以如果某个积分可以看成 $\int f[u(x)]u'(x) \dd{x}$ 的形式,且 $F(x)$ 较容易求出,即可根据式 2 写出结果.这种方法叫做第一类换元积分法.这类换元积分法的技巧就在于如何看出被积函数的的结构是 $\int f[u(x)]u'(x) \dd{x}$, 只有多练习才能熟能生巧.

例1 

   计算

\begin{equation} \int a\sinRound{ax + b} \dd{x} \end{equation}
令 $f(x) = \sinRound{x}$, $u(x) = ax + b$, 则上式刚好是 $\int f[u(x)]u'(x) \dd{x}$ 的形式.从基本初等函数积分表 已知 $\sin x$ 的一个原函数是 $F(x) = -\cos x$, 那么答案就是
\begin{equation} F[u(x)] + C = - \cosRound{ax + b} + C \end{equation}

   总结到更一般的情况,根据换元积分法,若已知 $\int f(x) \dd{x} = F(x) + C$, 则对于任意常数 $a$ 和 $b$, 必有 $\int a \,f(ax + b) \dd{x} = F(ax + b)$. 根据积分的基本性质,两边同除 $a$, 得

\begin{equation} \int f(ax + b) \dd{x} = \frac{1}{a} F(ax + b) + C \end{equation}
该式使用频率很高,需要熟练掌握.类似例子还有
\begin{equation} \int \frac{1}{ax+b} \dd{x} = \frac{1}{a}\lnRound {ax + b}+C \qquad \int \E^{ax + b} \dd{x} = \frac{1}{a} \E^{ax + b}+C \end{equation}
等等.

积分变量替换

   换元积分法的过程在形式上可以记为 (见微分

\begin{equation} \ali{ \int f[u(x)]u'(x) \dd{x} &= \int f[u(x)] \dd{[u(x)]} = \int f(u) \dd{u} = F(u)+C\\ &= F[u(x)]+C }\end{equation}
该式把积分变量由 $x$ 换成了 $u$, 故称为换元积分法

第二类换元积分法

   第二类换元积分法从某种意义上和第一类换元积分相反.若要对一个函数积分,先把它的自变量看做另一个变量的函数,再逆向使用式 7 , 即可化简积分.

\begin{equation} \int f(x) \dd{x} = \int f[x(t)] \dd{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \dd{t} \end{equation}
这个积分看似复杂了,但是如果 $x(t)$ 选取适当,反而可以使计算化简.

例2 

   计算

\begin{equation} \int \frac{\dd{x}}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation}
显然 $x \in ( - 1,1)$, 选取 $x(t)=\sin t$. 替换后的定义域为 $t \in ( -\pi/2,\pi/2)$, 函数单调递增1.上面积分变为
\begin{equation} \int \frac{\dd{x}}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{\dd{\sin t}}{\sqrt{1-\sin^2 t}} = \int \frac{\cos t\dd{t}}{\cos t} = \int 1\dd{t} = t + C = \arcsin x + C \end{equation}
验证: 根据反函数求导法则
\begin{equation} \arcsin'x = \frac{1}{\cosRound{\arcsin x}} = \frac{1}{\sqrt {1 - {x^2}} } \end{equation}


1. 注意任何积分换元法中的两个变量必须有一一对应的关系,即相互的函数关系在定义域内都为单调.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利