图

分部积分法

预备知识 牛顿—莱布尼兹公式

结论

\begin{equation} \int F(x)g(x)\dd{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x)\dd{x} \end{equation}
\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \dd{x} = \eval{F(x)G(x)}_a^b - \int_a^b f(x)G(x) \dd{x} \end{equation}
\begin{equation} \int f(x)g(x) \dd{x} = f(x)g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x)g^{[2]}(x) + \int f^{(2)}(x) g^{[2]}(x) \dd{x} \end{equation}

推导

   令 $f(x) = F'(x)$, $g(x) = G'(x)$, 根据乘法的求导公式

\begin{equation} [F(x)G(x)]' = f(x)G(x) + F(x)g(x) \end{equation}
\begin{equation} F(x)g(x) = [F(x)G(x)]' - f(x)G(x) \end{equation}
两边不定积分(积分常数可任取)得
\begin{equation} \int F(x)g(x) \dd{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \dd{x} \end{equation}
所以如果被积函数等于两个函数的乘积,则可选择其中一个($F$ )为“求导项”进行求导,另一个( $g$)为“积分项”进行不定积分(积分常数可任取),然后代入该式即可.

   若要计算定积分,既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式,也可以直接对式 5 进行定积分得

\begin{equation} \int_a^b F(x)g(x) \dd{x} = \qtySquare{ F(x)G(x) }_a^b - \int_a^b f(x)G(x) \dd{x} \end{equation}

例1 求 $x \E^{ - x}$ 的不定积分和从 $0$ 到 $+\infty$ 的定积分

   令 $x$ 项为“求导项”,导数为 1, $\E^{ - x}$ 为“积分项”,积分为 $-\E^{ - x}$.代入式 6

\begin{equation} \int x \E^{ - x} \dd{x} = x(-\E^{ - x}) - \int 1 \times (-\E^{ - x}) \dd{x} = - x \E^{ - x} - \E^{ - x} + C \end{equation}
如果直接计算定积分,把“求导项”和“积分项”直接代入式 7
\begin{equation} \int_0^{+\infty} x \E^{-x} \dd{x} = \eval{ x( - \E^{-x}) }_0^{ + \infty } - \int_0^{+\infty} 1 \times (-\E^{-x}) \dd{x} = 0 - \eval{ \E^{-x} }_0^{+\infty} = 1 \end{equation}

多次分部积分

   由于 $f(x)$ 的 $n$ 次导数可以记为 $f^{(n)}(x)$,不妨把 $g(x)$ 的 $n$ 次不定积分( $n$ 个积分常数任取)记为1 $g^{[n]}(x)$.则分部积分式 6 可记为

\begin{equation} \int f(x)g(x) \dd{x} = f(x) g^{[1]}(x) - \int f^{(1)}(x) g^{[1]}(x) \dd{x} \end{equation}
再对第二项利用分部积分,仍然将 $f^{(1)}$ 作为“求导项”, $g^{[1]}$ 作为“积分项”,得
\begin{equation} \int f(x)g(x) \dd{x} = f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + \int f^{(2)}(x) g^{[2]}(x) \dd{x} \end{equation}
再把 $f^{(2)}$ 作为“求导项”, $g^{[2]}$ 作为“积分项”,分布积分得
\begin{equation} \int f(x)g(x) \dd{x} = f(x) g^{[1]}(x) - f^{(1)}(x) g^{[2]}(x) + f^{(2)}(x)g^{[3]}(x) - \int f^{(3)}(x) g^{[3]}(x) \dd{x} \end{equation}
可以发现若要使用 $N$ 次分部积分,第 $i \leqslant N$ 项等于第 $i-1$ 项中的“求导项”求导,“积分项”积分,再取相反数,最后不定积分中只需把“求导项”额外求一次导即可.


1. 这是我自己发明的符号

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