图

内积

预备知识 矢量内积, 矢量空间

   在矢量空间中, 我们可以另外定义任意两个矢量的内积运算, 运算的结果是一个实数或复数. 内积运算不是矢量空间所必须的, 但物理中的矢量空间几乎都定义了内积运算. 我们把定义了内积运算的空间称为内积空间1

   两个矢量内积的定义必须满足(其中 $a, b$ 为实数或复数)

   说明: 当矢量空间的标量积只允许实数时, $a, b$ 也必须是实数, 此时式 1 中的共轭可以略去. 在式 3 中, 一个非零矢量和自身的内积必定是大于零的实数. 如果两个矢量内积为零, 我们就说他们是正交的.

   推论: 根据式 2 , 零矢量和任何矢量的内积都必定是 0. 结合式 1 式 2 , 可以得到 $ \left\langle a u + b v \middle| w \right\rangle = a^* \left\langle w \middle| u \right\rangle + b^* \left\langle w \middle| v \right\rangle $.

   内积一个重要性质就是满足柯西不等式

\begin{equation} \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}
即两个矢量内积绝对值的平方小于它们分别和自身内积再相乘. 由柯西不等式可以证明内积空间必然可以定义范数(证明见下文)
\begin{equation} \left\lVert v \right\rVert = \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}

内积的坐标表示

   $N$ 维内积空间中, 必存在 $N$ 个正交归一基底, 任意矢量 $v$ 可以在这组基底上找到对应的坐标 $(v_1, \dots, v_N) ^\dagger $, 且任意两个矢量 $u, v$ 的内积可以用坐标表示为

\begin{equation} \left\langle u \middle| v \right\rangle = \sum_i u_i^* v_i \end{equation}

勾股定理

   内积空间的勾股定理(Pythagorean theorem): 对任意两个正交的矢量, 有

\begin{equation} \left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}
证明:
\begin{equation} \left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle + \left\langle u \middle| v \right\rangle + \left\langle v \middle| u \right\rangle \end{equation}
根据正交的定义, $ \left\langle u \middle| v \right\rangle = 0$. 证毕.

证明内积必定是范数

   要证 $ \left\langle x \middle| x \right\rangle $ 满足范数的要求, 最关键是证明性质

\begin{equation} \left\lVert x+y \right\rVert ^2 \leqslant ( \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert )^2 = \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\lVert y \right\rVert ^2 + 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert \end{equation}
即证
\begin{equation} \left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle - \left\langle x \middle| x \right\rangle - \left\langle y \middle| y \right\rangle \leqslant 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert \end{equation}
其中
\begin{equation} \left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle + 2 \operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }] \end{equation}
带入, 即证
\begin{equation} \operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }]^2 \leqslant \left\lVert x \right\rVert ^2 \left\lVert y \right\rVert ^2 = \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle \end{equation}
由柯西不等式
\begin{equation} \operatorname{Re} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 + \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 = \left\lvert \left\langle x \middle| y \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle \end{equation}
而 $ \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 > 0$. 证毕.


1. 满足一定收敛条件的内积空间也叫希尔伯特空间(Hilbert space)

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