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虚时间法求基态波函数

   这里介绍一种求解基态波函数的数值方法. 如果薛定谔方程中势能不含时间, 用分离变量法解薛定谔方程的结果是

\begin{equation} \Psi(\bvec x, t) = \sum_i \psi_i(\bvec x) \E^{-\I E_i t} \end{equation}
其中 $\psi_i(\bvec x)$ 是能量为 $E_i$ 的能量本征态.

   现在若要求基态, 我们可以用虚数时间, 即 $t' = -\I t$, 使得含时波函数变为

\begin{equation} \Psi(\bvec x, t) = \sum_i \psi_i(\bvec x) \E^{- E_i t} \end{equation}
这样, 激发态衰减的速度就都比基态要快, 当 $t \to +\infty$ 的时候, 就只剩下基态波函数了.

   假设我们有一个求解 TDSE 的数值方法, 那么我们只需要用其求解方程

\begin{equation} \mat H\Psi = -\pdvTwo{\Psi}{t} \end{equation}
然后每个循环对波函数进行归一化即可. 因为该方程的分离变量解就是式 2

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