图

理想气体的状态密度(相空间)

预备知识 $N$ 维球体的体积

结论

\begin{equation} \Omega_0 = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{(3N/2)!} \end{equation}
\begin{equation} g(E) = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi m)^{3N/2}}{(3N/2-1)!} E^{3N/2 - 1} \end{equation}

   在 $N$ 个不相干粒子的相空间中, 能量小于 $E$ 的体积为

\begin{equation} \Omega_0 = \frac{1}{N! h^3} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \dd[3N]{q} \dd[3N]{p} = \frac{V^N}{N! h^3} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \dd[3N]{p} \end{equation}
其中积分 $\int_{\dots} \dd[3N]{p} $ 可以看做 $n=3N$ 维球体的体积, 半径为 $R = \sqrt{2mE}$.

   词条 $N$ 维球体的体积 中的结论为

\begin{equation} V_n = \leftgroup{ &\frac{R^n}{(n/2)!} \pi^{(n - 1)/2} \ & &(\text{奇数} n)\\ &\frac{R^n}{(n/2)!} \pi^{n/2} & &(\text{偶数} n) } \ \approx \frac{n - 1}{2} = \frac{n}{2} \end{equation}
(由于系统中粒子数 $N$ 非常多, 可以近似认为 $(n - 1)/2 = n/2$. 见热力学中的近似). 代入 $n=3N$ 和 $R = \sqrt{2mE} $, 得, 其中,
\begin{equation} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \dd[3]{p} = \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{(3N/2)!} \end{equation}
$N$ 个不可区分粒子组成的理想气体, 能量小于 $E$ 的能级个数为
\begin{equation} \Omega_0 = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{(3N/2)!} \end{equation}
对能量求导得到状态密度为
\begin{equation} g(E) = \dvTwo{\Omega_0}{E} = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi m)^{3N/2}}{(3N/2 - 1)!} E^{3N/2 - 1} \end{equation}

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