图

全同粒子

预备知识 多体量子力学简介

粒子交换算符

预备知识 正交子空间

   定义粒子交换算符为(先不考虑自旋)

\begin{equation} P_{1,2}\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \end{equation}
可以证明这是一个厄米算符, 即
\begin{equation} \left\langle \phi \middle| P_{1,2}\psi \right\rangle = \left\langle P_{1,2}\phi \middle| \psi \right\rangle \end{equation}
该算符有 $1$ 和 $-1$ 两个本征值, 对应两个正交子空间, 分别是对称波函数和反对称波函数(即满足下式)构成的空间.
\begin{equation} \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) = \pm\psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \end{equation}

   这两个子空间外的波函数既非对称也非反对称.

   对称波函数描述全同玻色子, 反对称波函数描述全同费米子.

与哈密顿算符对易

预备知识 守恒量(量子力学)

   对于全同粒子, 交换算符与哈密顿算符对易1. 这保证了 $P$ 是一个守恒量. 也就是全同粒子的波函数在演化过程中将一直保持对称性或反对称性.

本征态与测量

   两个全同粒子的本征态(或者其他任何态)也必须是必须是对称或反对称的, 例如位置本征态 $(\delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1} \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}\pm \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1})/\sqrt 2$ 只能告诉我们一个粒子在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 处另一个粒子在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 处, 仍然不能区分它们.

   于是根据测量理论, 我们仍然要将总波函数投影到本征态上去. 例如位置分布为

\begin{equation} \begin{aligned} P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) &= \left\lvert \frac{1}{\sqrt{2}}\int [\delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}( \boldsymbol{\mathbf{r}} '_1) \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}( \boldsymbol{\mathbf{r}} '_2) \pm \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}( \boldsymbol{\mathbf{r}} '_1) \delta_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}( \boldsymbol{\mathbf{r}} '_2)] \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} '_1, \boldsymbol{\mathbf{r}} '_2) \,\mathrm{d}^{3}{r'_1} \,\mathrm{d}^{3}{r'_2} \right\rvert ^2\\ &= \left\lvert \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \right\rvert ^2\\ &= \left\lvert \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) + \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \right\rvert ^2\\ &= 2 \left\lvert \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \right\rvert ^2 \end{aligned} \end{equation}
注意该式中 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$ 不区分 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 的顺序. 也就是说 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$ 告诉我们一个粒子在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$, 另一个在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 的概率密度.

   对应地, 在做归一化时, 一种方法是先对所有变量在全部范围积分再除以 $2$, 因为每一个 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$ 都重复计算了 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)$, 归一化条件

\begin{equation} \frac{1}{2}\int P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \,\mathrm{d}^{3}{r_1} \,\mathrm{d}^{3}{r_2} = \int \left\lvert \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}^{3}{r_1} \,\mathrm{d}^{3}{r_2} = 1 \end{equation}

   另一种方法是不除二, 而是选取上式积分范围的一半使得对任何 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$, $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)$ 不会被重复计算, 在一维运动情况下, 我们可以只对 $r_1, r_2$ 平面满足 $r_1 < r_2$ 的一半积分. 在多维运动时, 我们只需要选取任意一个坐标, 例如令 $y_1 < y_2$ 即可将整个积分范围划分为满足要求的两半2

例1 单粒子位置分布

   若两个全同粒子的波函数为 $\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$, 求单个粒子的位置分布 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$. 注意我们并不能求 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)$ 或者 $P( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$.

   我们只需要将式 4 对其中一个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 全空间积分即可

\begin{equation} P( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int P( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}^{3}{r'} = 2\int \left\lvert \psi_\pm( \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}
根据式 5 , $\int P( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} = 2$ 而不是 $1$, 这并没有问题, 因为空间中共有两个粒子.

一般投影

   类比式 4 可以发现, 将任何对称或反对称的波函数投影到形式为

\begin{equation} [\phi_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\phi_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \pm \phi_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\phi_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)]/\sqrt{2} \end{equation}
且具有相同对称性的波函数上, 都会得到相同的两项3. 所以为了方便计算, 我们可以只投影到第一项 $\phi_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\phi_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)$ 上, 再乘以 $\sqrt{2}$ 即可.


1. 对非全同粒子则不成立, 例如两个质量不同的粒子的哈密顿算符与交换算符不对易
2. 也可以使用任何可以区分粒子交换的条件, 例如 $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 < x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$, 将角标 $1$ 和 $2$ 互换后, 两条不等式只能满足一条.
3. 如果投影到对称性相反的波函数上, 结果为零

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