图

积分表

预备知识 不定积分

   这里给出一个基本积分表和一个常用积分表,前者建议熟记.部分积分有的给出计算步骤,没有给出则是由基本初等函数的导数 直接逆向得出.所有的不定积分公式都可以通过求导验证.

   应用换元积分法, 表中任何积分都可以拓展为

\begin{equation} \int f(ax+b) \,\mathrm{d}{x} = \frac1a F(ax+b) + C \end{equation}

基本积分表

\begin{align} &\int x^a \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C \quad(a \in R, a \ne - 1) \\ &\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \quad\text{(例 6)} \\ &\int \cos x \,\mathrm{d}{x} = \sin x + C \\ &\int \sin x \,\mathrm{d}{x} = - \cos x + C \\ &\int \tan x \,\mathrm{d}{x} = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \quad\text{(例 2)} \\ &\int \cot x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \quad\text{(例 3)} \\ &\int \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}{x} = \tan x + C \\ &\int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}{x} = \arctan x + C \\ &\int \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x + C \\ &\int x{ \mathrm{e} ^x} \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x (x-1) + C \quad\text{(例 7)} \\ &\int a^x \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} a^x + C \quad\text{(例 1)} \end{align}

常用积分表

\begin{align} &\int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x - \sin x\cos x) + C \quad\text{(例 4)} \\ &\int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \quad\text{(例 5)} \\ &\int \sec x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert \tan x + \sec x \right\rvert + C \quad\text{(例 11)} \\ &\int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \quad\text{(例 8)} \\ &\int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac xa \right) + C \quad\text{(例 9)} \\ &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \arcsin\left(x\right) + C \quad\text{(例 10)} \\ &\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C = \sinh^{-1} x + C \quad\text{(例 12)} \end{align}

例1 

  

\begin{equation} \int a^x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
我们已经知道如何算 $ \mathrm{e} ^x$ 的积分, 而 $a = \mathrm{e} ^{\ln a}$, 再根据式 1 就有
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\ln a} \mathrm{e} ^{ \ln\left(a\right) x} + C = \frac{1}{\ln a}a^x + C \end{equation}

例2 

  

\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这个积分用第一类换元积分法(式 2
\begin{equation} \int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C \end{equation}
首先 $\tan x = \sin x/ \cos x$ , 令 $u(x) = \cos x$, 则 $\sin x = -u'(x)$, 对比得 $f(x) = -1/x$ 其原函数为 $F(x) = -\ln \left\lvert x \right\rvert $, 所以
\begin{equation} \int \tan x \,\mathrm{d}{x} = \int f[u(x)] u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = -\ln \left\lvert \cos x \right\rvert + C \end{equation}

例3 

   类似例 2 , $\cot x = \cos x/\sin x$, 令 $u(x) = \sin x$, 则 $\cos x = u'(x)$, 对比得 $f(x) = 1/x$, 原函数为 $F(x) = \ln \left\lvert x \right\rvert $ (式 3 ) , 所以

\begin{equation} \int \cot x \,\mathrm{d}{x} = F[u(x)] + C = \ln \left\lvert \sin x \right\rvert + C \end{equation}

例4 

  

\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
用降幂公式(式 7 ) 和不定积分的线性(式 4 ) 把上式变为常数的积分和 $\cos 2x$ 的积分, 再利用式 4 式 1 计算后者即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} - \frac12\int \cos 2x \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} - \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x - \sin x \cos x) + C \end{aligned} \end{equation}

例5 

  

\begin{equation} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
例 4 类似, 用三角恒等式 $\cos^2(x) = [1 + \cos\left(2x\right) ]/2$ 得
\begin{equation} \begin{aligned} \int \cos^2 x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac12 \,\mathrm{d}{x} + \frac12\int \cos\left(2x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{x}{2} + \frac14 \sin\left(2x\right) = \frac12 (x + \sin x \cos x) + C \end{aligned} \end{equation}

例6 

  

\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
首先在区间 $(0,+\infty)$ 内, 由于 $\ln x$ 的导数是 $1/x$, 所以积分结果为 $\ln x + C$. 现在再来考虑区间 $(-\infty, 0)$, 注意 $\ln x$ 在这里没有定义, 不妨看看 $ \ln\left(-x\right) $, 由复合函数求导, 其导数恰好为 $1/x$. 所以在除去原点的实数范围内, 有
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \end{equation}
事实上, 由于 $1/x$ 在 $x=0$ 没有定义, 更广义的原函数可以取
\begin{equation} \int \frac1x \,\mathrm{d}{x} = \begin{cases} \ln x + C_1 & (x > 0)\\ \ln\left(-x\right) + C_2 & (x < 0) \end{cases} \end{equation}
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是两个不相同的待定常数.

例7 

  

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用用分部积分式 1
\begin{equation} \int F(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x)G(x) - \int f(x)G(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
令 $F(x) = x$, 求导得 $f(x) = 1$, 令 $g(x) = \mathrm{e} ^x$, 由式 10 , $G(x) = \mathrm{e} ^x$. 代入分部积分得
\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = x \mathrm{e} ^x - \int 1\cdot \mathrm{e} ^x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^x(x - 1) + C \end{equation}

例8 

  

\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
方法一: 使用第二类换元法式 8
\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
1 $x = \mathrm{e} ^t$, 求导得 $x'(t) = \mathrm{e} ^t$, 换元得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \int \ln\left( \mathrm{e} ^t\right) \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} = \int t \mathrm{e} ^t \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
例 7 中的分部积分得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = \mathrm{e} ^t (t-1) + C = \mathrm{e} ^{\ln x} (\ln x -1) + C = x (\ln x-1) + C \end{equation}
方法二: 直接使用分部积分法式 1 , 对常数 1 积分, 对 $\ln x$ 求导, 得
\begin{equation} \int \ln x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - \int x\cdot \frac1x \,\mathrm{d}{x} = x\ln x - x + C \end{equation}

例9 

  

\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 , 令 $x = a\sin t$ 得
\begin{equation} \int a\cos t \,\mathrm{d}\left(a\sin t \right) = a^2 \int \cos^2 t \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
例 5 的结论代入得 $a^2(t + \sin t\cos t) + C$, 再将 $t = \arcsin\left(x/a\right) $ 代入得
\begin{equation} \int \sqrt{a^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a} \right) + C \end{equation}

例10 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 , 令 $x = \sin t$ 得
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\sin t \right) = \int \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C \end{equation}

例11 

  

\begin{equation} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
分子分母同时乘以 $\sec x + \tan x$, 可以发现分子是分母的导数. 再用第一类换元积分法(式 2 ) , 令 $u(x) = \sec x + \tan x$, 再使用式 3 即可
\begin{equation} \begin{aligned} \int \sec x \,\mathrm{d}{x} &= \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac{u'(x)}{u} \,\mathrm{d}{x} = \int \frac1u \,\mathrm{d}{u} \\ &= \ln \left\lvert u \right\rvert +C = \ln \left\lvert \sec x + \tan x \right\rvert +C \end{aligned} \end{equation}

例12 

  

\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
使用第二类换元法式 8 , 令 $x = \tan t$, 再利用“三角恒等式” 的式 2 式 3
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}} \,\mathrm{d}\left(\tan t \right) = \int \frac{1}{\sec t} \sec^2 t \,\mathrm{d}{t} = \ln \left\lvert \tan t + \sec t \right\rvert + C \end{equation}
由同一三角恒等式, $\sec t = \sqrt{1+\tan^2 t} = \sqrt{1+x^2}$, 所以
\begin{equation} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \,\mathrm{d}{x} = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C \end{equation}
注意上式中 $\ln$ 后面的绝对值符号消失是因为 $x + \sqrt{1+x^2}\geqslant 0 $ 恒成立. 另外由“双曲函数”中例 1 可知上式又等于 $\sinh^{-1} x + C$.


1. 注意被积函数只在 $x > 0$ 区间有定义, 否则使用 $x = \mathrm{e} ^t$ 将会自动忽略 $x\leqslant 0$ 的情况.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利