图

二维无限深势阱

预备知识 无限深势阱, 分离变量法

  1现在我们来看一个粒子的二维运动. 定态薛定谔方程为

\begin{equation} H \Psi(x, y) = E \Psi(x, y) \end{equation}
其中哈密顿算符为
\begin{equation} H = -\frac{1}{2} \laplacian + V(x, y) = -\frac{1}{2} \pdv[2]{x} -\frac{1}{2} \pdv[2]{y} + V(x, y) \end{equation}

   前两项分别为 $x$ 和 $y$ 方向的动能算符, $V(x, y)$ 为势能(算符)

\begin{equation} V(x, y) = \leftgroup{ &0 & \quad & (0 \leqslant x \leqslant a \text{ 且 } 0 \leqslant y \leqslant b)\\ &+\infty & & (其他情况) } \end{equation}
$V(x, y)$ 可以看成 $V_x(x)$ 和 $V_y(y)$ 两个函数相加, 他们的定义为
\begin{equation} V_x(x) = \leftgroup{ &0 & \quad & (0 \leqslant x \leqslant a)\\ &+\infty & & (其他情况) } \end{equation}
\begin{equation} V_y(y) = \leftgroup{ &0 & \quad & (0 \leqslant y \leqslant b)\\ &+\infty & & (其他情况) } \end{equation}
于是总哈密顿算符可以记为两部分, 每部分是一个一维简谐振子的哈密顿算符
\begin{equation} H = H_x + H_y \end{equation}
\begin{equation} \leftgroup{ H_x &= -\frac{1}{2} \pdv[2]{x} + V_x(x)\\ H_y &= -\frac{1}{2} \pdv[2]{y} + V_y(y) } \end{equation}

   为什么这样做呢? 这使我们可以使用分离变量法. 令

\begin{equation} \Psi(x, y) = \Psi_x(x)\Psi_y(y) \end{equation}
带入薛定谔方程两边同除以 $\Psi_x(x)\Psi_y(y)$ 得
\begin{equation} \frac{H_x \Psi_x(x)}{\Psi_x(x)} + \frac{H_y \Psi_y(y)}{\Psi_y(y)} = E \end{equation}
由于第一项只和 $x$ 有关, 第二项只和 $y$ 有关, 所以它们都是常数, 令
\begin{equation} \leftgroup{ H_x \Psi_x(x) &= E_x \Psi_x(x)\\ H_y \Psi_y(y) &= E_y \Psi_y(y) } \end{equation}
他们分别是一维简谐振子的定态薛定谔方程. 他们的各个束缚态波函数(式 4 )分别为
\begin{equation} \Psi_{x, i}(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sinRound{\frac{n\pi}{a} x} \quad (i = 1,2,...) \end{equation}
\begin{equation} \Psi_{y, j}(y) = \sqrt{\frac{2}{b}} \sinRound{\frac{n\pi }{b} y} \quad (j = 1,2,...) \end{equation}
对应的能量分别为
\begin{equation} E_{x, i} = \frac{\pi^2}{2 a^2} i^2 \qquad E_{y, j} = \frac{\pi^2}{2 b^2} j^2 \end{equation}
则总哈密顿算符的束缚态可以记为它们的乘积
\begin{equation} \Psi_{i, j}(x, y) = \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y) = \frac{2}{\sqrt{ab}} \sinRound{\frac{i \pi}{a} x} \sinRound{\frac{j \pi}{b} x} \end{equation}
对应的能量为
\begin{equation} E_{i, j} = E_{x,i} + E_{y,j} = \frac{\pi^2}{2} \qtyRound{\frac{i^2}{a^2} + \frac{j^2}{b^2}} \end{equation}
另外, 由于 $\Psi_{x, i}(x)$ 和 $\Psi_{y, j}(y)$ 都是完备的, 它们的乘积也是完备的, 即二维势阱中任意波函数可以表示为
\begin{equation} \Psi(x, y) = \sum_{i,j} C_{i, j} \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y) \end{equation}
事实上, 这就是二维傅里叶级数.


1. 本词条使用原子单位

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利