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无限深势阱

预备知识 定态薛定谔方程,二阶常系数齐次微分方程

   只考察质量为 $m$ 的粒子沿 $x$ 方向的运动情况.势能函数为

\begin{equation} V(x) = \leftgroup{ &0 \quad &&(0 \leqslant x \leqslant a)\\ +&\infty &&(x < 0 \ \text{或}\ x > a) }\end{equation}

图
图1:无限深势阱

   求解定态薛定谔方程

\begin{equation} -\frac{\hbar ^2}{2m} \dv[2]{x} \psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \end{equation}

结论

   第 $n$ 个能级为

\begin{equation} E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m a^2} n^2 \quad (n = 1,2,3...) \end{equation}
能量的本征波函数为
\begin{equation} \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sinRound{\frac{n\pi }{a} x} \end{equation}

推导

   先考虑势阱内部($0 \leqslant x \leqslant a$, $V = 0$),方程变为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \dv[2]{x} \psi(x) = E\psi(x) \end{equation}
这是二阶常系数齐次微分方程.通解为
\begin{equation} \psi(x) = C_1\cosRound{kx} + C_2 \sinRound{kx} \qquad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \end{equation}
其中

   (通解也可以写成指数函数 $C\E^{\I kx}$, 加上边界条件后的结论一样) 现在讨论边界条件: 在有限深势阱束缚态中将会看到,如果势阱外部势能是有限值,波函数将会按照指数函数衰减,势能越高衰减得越快.而现在势阱外部势能为无穷大,就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零.所以边界条件为

\begin{equation} \psi(0) = 0, \quad \psi(a) = 0 \end{equation}
这两个条件代入以上通解中,解得
\begin{equation} C_2 = 0, \quad k = \frac{n\pi}{a} \ \ (n = 1,2,3\dots) \end{equation}

   $C_1$ 的取值暂时不能确定,但先将通解写为 $\psi(x) = C\sinRound{\frac{n\pi }{a}x}$, 常数 $C$ 就可以通过波函数的归一化来确定:

\begin{equation} 1 = \int_{-\infty }^{+\infty } \abs{\psi(x)}^2 \dd{x} = \int_{-a}^{+a} \abs{C\sinRound{\frac{n\pi }{a} x}}^2 \dd{x} = \abs{C}^2 \frac{a}{2} \end{equation}
严格来说, $C$ 可以是复数,解为 $C = \sqrt{2/a} \E^{\I\theta}$. 但是为了方便通常把归一化常数中的相位因子 $\E^{\I\theta}$ 默认为 $1$. 所以归一化的波函数为
\begin{equation} \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sinRound{\frac{n\pi }{a}x} \end{equation}
另外,由
\begin{equation} \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = k = \frac{n\pi }{a} \end{equation}
可以得出能级是离散的结论.即
\begin{equation} E_n = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2} n^2 \quad (n = 1,2,3\dots) \end{equation}

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