超几何函数
贡献者： addis
广义超几何函数表示为1
\begin{equation}
{_pF_q}(a_1,\dots, a_p; b_1, \dots, b_q; z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots (a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \frac{z^n}{n!}~.
\end{equation}
其中 $(a)_n = a(a+1)\dots(a+n-1)$，叫做
Pochhammer 符号。
1. 合流超几何函数 $_1F_1(a; b; z)$
求平面库仑波函数需要使用 $_1F_1(a; b; z)$，其级数展开为
\begin{equation}
_1F_1(a; b; z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^n}{n!}~,
\end{equation}
渐进展开为
\begin{equation} \begin{aligned}
{_1F_1}(a; b; z) &= \frac{(-1)^a\Gamma(b)}{\Gamma(b-a)} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(a)_n (a-b+1)_n}{n!} z^{-n-a}\\
&+ \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)} \sum_{n=0}^\infty \frac{(b-a)_n (1-a)_n}{n!} z^{-n+a-b} \mathrm{e} ^z~,
\end{aligned} \end{equation}
连分数展开为
\begin{equation}
{_1F_1}(a; b; z) = 1 + \frac{az/b}{1+\dots}\ \frac{-c_1 z}{1 + c_1 z + \dots}\ \frac{-c_2 z}{1 + c_2 z +\dots}~,
\end{equation}
\begin{equation}
c_n = \frac{a + n}{(n+1)(b + n)}~.
\end{equation}
1. ^ 但据说当 $p > q+1$ 时级数不收敛
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