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高阶导数

预备知识 求导法则

   一个一元函数 $y=f(x)$ 可导, 如果导函数 $y'=f'(x)$ 仍可导, 则称 $y'=f'(x)$ 的导数为函数 $y=f(x)$ 的二阶导数,记为

\begin{equation} y'',\quad f''(x),\quad \frac{\dd{^2y}}{\dd{x^2}},\quad \frac{\dd{^2f}}{\dd{x^2}},\quad y''(x) \end{equation}
\begin{equation} y''=(y')',\quad\frac{\dd{^2y}}{\dd{x^2}}=\frac{\dd{ }}{\dd{x}}\qtyRound{\frac{\dd{x}}{\dd{y}}} \end{equation}

   由导数中的定义式 2 ,可得二阶导数的计算公式

\begin{equation} f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x} \end{equation}

   若把 $y=f(x)$ 的导数 $y'=f'(x)$ 称为 $y=f(x)$ 的一阶导数, 那么, 一阶导数的导数就称为二阶导数. 若二阶导数 $y''=f''(x)$ 仍然可导,我们就把二阶导数的数 $y''=f''(x)$ 的导数称为三阶导数, 记为

\begin{equation} y''',\quad f'''(x),\quad \frac{\dd{^3y}}{\dd{x^3}},\quad \frac{\dd{^3f}}{\dd{x^3}},\quad y'''(x) \end{equation}

   一般地,如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数是可导的,我们就把 $n-1$ 阶导数的导数称为果 $y=f(x)$ 的n 阶导数,记为

\begin{equation} y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{\dd{^ny}}{\dd{x^n}},\quad \frac{\dd{^nf}}{\dd{x^n}},\quad y^{(n)}(x) \end{equation}

   二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 利用求导公式和求导法则就可以求出高阶导数.

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