图

厄米矩阵

预备知识 对称矩阵

厄米共轭

   我们把矩阵元可以取复数的矩阵叫做复数矩阵. 与矩阵转置(式 1 )类似, 要对一个复数矩阵做厄米共轭, 就先将其做转置, 再对每个矩阵元取复共轭. 矩阵 $\mat A$ 的厄米共轭记为 $\mat A\Her$

\begin{equation} A\Her_{i,j} = A_{j,i}^* \end{equation}
注意当矩阵元都是实数时, 厄米共轭就是转置.

厄米共轭的基本性质

   任意常数乘以厄米矩阵再取共轭, 等于该常数的复共轭乘以矩阵的厄米共轭

\begin{equation} (c \mat A)\Her = c^* \mat A\Her \end{equation}

   类比转置,矩阵相乘的厄米共轭等于分别做厄米共轭, 逆序排列, 再相乘

\begin{equation} (\mat A \mat B \dots \mat C)\Her = \mat C\Her \dots \mat B\Her \mat A\Her \end{equation}

习题1 证明

   请根据相关定义证明式 2 式 3

厄米矩阵

   若 $\mat A$ 的厄米共轭是其本身, 即

\begin{equation} \mat A\Her = \mat A \end{equation}
那么我们称其为厄米矩阵. 厄米矩阵关于对角线对称的任意两个矩阵元互为复共轭
\begin{equation} A\Her_{i,j} = A_{j,i}^* \end{equation}
特殊地, 对角线上的矩阵元的复共轭等于本身 ($A_{i,i} = A_{i,i}^*$), 所以厄米矩阵对角线上的矩阵元都是实数.

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