贡献者： addis
1. 厄米共轭
我们把矩阵元可以取复数的矩阵叫做复数矩阵。与矩阵转置（式 2 ）类似，可以定义厄米共轭（Hermitian conjugate）操作：
定义 1 厄米共轭
要对一个复数矩阵做厄米共轭，就先将其做转置，再对每个矩阵元取复共轭。矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭矩阵记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $，其第 $i$ 行第 $j$ 列的矩阵元为
\begin{equation}
A ^\dagger _{i,j} = A_{j,i}^*~.
\end{equation}
注意当矩阵元都是实数时，厄米共轭就是转置。$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 也称为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的
伴随矩阵（adjoint matrix）。
2. 厄米共轭的基本性质
任意常数乘以厄米矩阵再取共轭，等于该常数的复共轭乘以矩阵的厄米共轭
\begin{equation}
(c \boldsymbol{\mathbf{A}} ) ^\dagger = c^* \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger ~.
\end{equation}
类比转置，矩阵相乘的厄米共轭等于分别做厄米共轭，逆序排列，再相乘
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \dots \boldsymbol{\mathbf{C}} ) ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{C}} ^\dagger \dots \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger ~.
\end{equation}
3. 线性映射的厄米共轭
既然矩阵可以用来表示线性映射，那么其厄米共轭（伴随矩阵）也有对应的算符。上述 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 的算符分别记为 $A:X\to Y$，$A ^\dagger : Y\to X$，其中 $Y = A(X)$ 是 $A$ 的值域空间。为什么 $A ^\dagger $ 要调换 $X, Y$ 呢？考虑长方形矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭矩阵就会发现转置后定义域和值域的维数互换了，所以 $A ^\dagger :Y\to X$ 是更自然的定义。
未完成：对任意线性映射有 $ \left\langle u \middle| Av \right\rangle = \left\langle A ^\dagger u \middle| v \right\rangle = \left\langle v \middle| A ^\dagger u \right\rangle $，即 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{u}} $（
式 3 ）。这可以看作厄米算符的等效定义，在泛函分析中更有用。
4. 厄米矩阵、自伴矩阵
若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭是其本身，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger = \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
那么我们称其为
厄米矩阵。厄米矩阵关于对角线对称的任意两个矩阵元互为复共轭
\begin{equation}
A_{i,j} = A_{j,i}^*~.
\end{equation}
特殊地，对角线上的矩阵元的复共轭等于本身（$A_{i,i} = A_{i,i}^*$），所以厄米矩阵对角线上的矩阵元都是实数。
事实上，厄米矩阵也可以等效定义为满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j~.
\end{equation}
对任意列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 都成立的矩阵。这可以用
式 3 证明。
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