图

哈密顿正则方程

预备知识 拉格朗日方程

哈密顿量

   我们定义一个系统的哈密顿量

\begin{equation} H = \sum_i \dot q_i p_i - L \end{equation}
其中 $L$ 为拉格朗日量, $p_i$ 为广义坐标 $q_i$ 的共轭动量(见式 13 ).

   当 $L$ 等于系统动能减势能时, 哈密顿量等于系统能量. 证明如下: 将系统看做质点系, 由于 $L = T - V$ 且 $V$ 与 $\dot q$ 无关, 有

\begin{equation} p_i = \pdvTwo{L}{\dot q_i} = \pdv{\dot q_i} \sum_j \frac12 m_j \dot{\bvec r}_j^2 = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \pdvTwo{\dot{\bvec r}_j}{\dot q_i} = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} \end{equation}
其中最后一步利用了式 4 . 所以式 1 中的求和项为
\begin{equation} \sum_i \dot q_i p_i = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \sum_i \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i}\dvTwo{q_i}{t} = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j^2 = 2T \end{equation}
其中第二步用到了 $r(q_1(t), q_2(t) \dots)$ 的全微分, 注意该函数不能显含 $t$. 上式代回式 1 , 可证明 $H = T + V$ 等于系统总能量. 证毕.

   从拉格朗日函数 $L$ 变为哈密顿量 $H$ 的这种变换, 叫做拉格朗日变换

哈密顿正则方程

   哈密顿正则方程是一组以 $N$ 个广义坐标 $q_i$ 和 $N$ 个共轭动量(式 13 ) 作为因变量的方程组, 共有 $2N$ 条方程. 与拉格朗日方程相比, 虽然方程的个数增多了, 但是方程却由二阶变为了一阶.

   如果把系统的哈密顿量写成广义坐标和广义动量的函数

\begin{equation} H(q_1,\dots, q_N, p_1,\dots, p_N) \end{equation}
(注意函数中不能出现 $\dot q_i$)则哈密顿正则方程为
\begin{equation} \leftgroup{ &\dot q_i = \pdvTwo{H}{p_i}\\ &\dot p_i = -\pdvTwo{H}{q_i} } \qquad (i = 1\dots N) \end{equation}
可见在方程中, $q_i$ 和 $p_i$ 是对称的, 具有同样的地位.

例1 直角坐标系中的质点运动

   直角坐标系中一个质点的拉格朗日量为 $L = m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)/2 - V$, 共轭动量就是通常定义的动量(用 $x_1,x_2,x_3$ 表示 $x, y, z$)

\begin{equation} p_{x_i} = \pdvTwo{L}{\dot x_i} = m\dot x_i \end{equation}
哈密顿量等于总能量(注意要写成 $x_i$ 和 $p_{x_i}$ 的函数, 不能含有 $\dot x_i$)为
\begin{equation} H = \sum_i \frac{p_{x_i}^2}{2m} + V \end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation} \leftgroup{ &\dot x_i = \frac{p_{x_i}}{m}\\ &\dot p_{x_i} = -\pdvTwo{V}{x_i} } \qquad (i = 1,2,3) \end{equation}
显然上式的第一条是(普通)动量与速度的关系, 第二条则是牛顿第二定律.

推导

   对式 1 全微分, 有

\begin{equation} \dd{H} = \sum_i \dot q_i \dd{p_i} + \sum_i p_i \dd{\dot q_i} - \dd{L} \end{equation}
对拉格朗日量全微分, 有
\begin{equation} \dd{L} = \sum_i \pdvTwo{L}{q_i}\dd{q_i} + \sum_i \pdvTwo{L}{\dot q_i}\dd{\dot q_i} + \pdvTwo{L}{t} \end{equation}
将拉格朗日方程式 1 的右边和广义动量的定义式 13 代入上式, 得
\begin{equation} \dd{L} = \sum_i \dot p_i\dd{q_i} + \sum_i p_i\dd{\dot q_i} + \pdvTwo{L}{t} \end{equation}
代入式 9 , 得
\begin{equation} \dd{H} = - \sum_i \dot p_i \dd{q_i} + \sum_i \dot q_i \dd{p_i} - \pdvTwo{L}{t} \end{equation}
由于 $H$ 是 $p_i, q_i, t$ 的函数, 其全微分为
\begin{equation} \dd{H} = \sum_i \pdvTwo{H}{q_i}\dd{q_i} + \sum_i \pdvTwo{H}{p_i}\dd{p_i} + \pdvTwo{H}{t} \end{equation}
最后, 对比以上两式可得哈密顿正则方程, 以及
\begin{equation} \pdvTwo{H}{t} = - \pdvTwo{L}{t} \end{equation}

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