氢原子基态的波函数

预备知识　波函数简介

　　由于波函数的统计诠释，统计在量子力学中经常碰到，所以这里举一个例子让你熟悉一下统计的一些常见计算．

　　氢原子是唯一有解析解的物理实例，因为它结构简单，只有一个核外电子．由于核外电子质量又远小于原子核的质量，忽略核的运动，且不计万有引力．

　　氢原子基态的波函数为

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = A \mathrm{e} ^{-r/a} \end{equation}

其中 $a_0 = 4\pi\varepsilon_0 \hbar ^2/(m_e e^2)$ 是量子理论中一个重要的常数，玻尔半径．由于这是个球对称函数，所以氢原子的波函数通常在球坐标中表示，即表示成三个球坐标的函数 $\psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi (r, \theta, \phi)$．其模长平方同样表示粒子在某点出现的概率密度．由于氢原子基态的波函数是球对称的，所以只是 $r$ 的函数．

归一化

　　概率密度必须归一化，也就是说，在所有地方找到电子的概率之和为必为 $1$．所以可以用归一化来确定波函数前面的系数 $A$．把概率密度对整个空间体积分

\begin{equation} 1 = \int \left\lvert \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{V} = \int_0^{+\infty} (A^2 \mathrm{e} ^{-2r/a})(4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} ) = A^2 \pi a^3 \end{equation}

所以 $A = 1/\sqrt{\pi a^3}$，

\begin{equation} \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}} \mathrm{e} ^{-r/a} \end{equation}

位置的平均值

　　根据连续概率分布中平均值（或数学期望）的定义

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rangle = \int \boldsymbol{\mathbf{r}} \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{V} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}

积分显然为零，因为波函数关于中心呈球对称分布，各个方向的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 互相抵消了．所以如果对足够多个处于基态的氢原子测量电子的位置，并求平均位置（矢量），一定会在原子核处．

电子离原子核距离的平均值

　　如果在上题中，求平均值的不是位置矢量，而是位置的大小，那么结果显然是大于零的．

\begin{equation} \left\langle r \right\rangle = \int r \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{V} = \int r (A^2 \mathrm{e} ^{-2r/a})(4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} )= \frac{3}{8} a^4 A = \frac{3}{2}a \end{equation}

注意这比玻尔半径要大．

电子最可能出现的位置

　　一个位置的波函数模长平方越大，电子越有可能出现在这个位置．所以现在要求的是概率密度出现最大值的位置．根据指数函数的性质，最大值 $ \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert _{\max}^2 = \left( \mathrm{e} ^{-0/a}/\sqrt{\pi a^3} \right) ^2 = 1/(\pi a^3)$，最大值位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $．

电子与原子核最有可能的距离

　　若定义径向概率密度为

\begin{equation} f(r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\int_r^{\Delta r} { \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert }^2 (4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} ) }{\Delta r} = 4\pi r^2 \left\lvert \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2 \end{equation}

要求最可能出现的半径 $f(r)_{\max}$，可以对其求导（见“导数与函数极值”）．即 $ \mathrm{d}{f(r)}/\mathrm{d}{r} = 0$ 即 $8 r \mathrm{e} ^{-2r/a}/a^3 - (4/a^3)(2/a)r^2 \mathrm{e} ^{-2r/a} = 0$，解得 $a = r$．这个重要结论说明，玻尔半径就是氢原子基态中电子与原子核最有可能的距离．

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