氢原子基态的波函数
预备知识 波函数简介
由于波函数的统计诠释，统计在量子力学中经常碰到，所以这里举一个例子让你熟悉一下统计的一些常见计算．
氢原子是唯一有解析解的物理实例，因为它结构简单，只有一个核外电子．由于核外电子质量又远小于原子核的质量，忽略核的运动，且不计万有引力．
氢原子基态的波函数为
\begin{equation}
\psi(\bvec r) = A\E^{-r/a}
\end{equation}
归一化
概率密度必须归一化，也就是说，在所有地方找到电子的概率之和为必为 $1$． 所以可以用归一化来确定波函数前面的系数 $A$． 把概率密度对整个空间体积分
\begin{equation}
1 = \int \abs{\psi(\bvec r)} ^2 \dd{V} = \int_0^{+\infty} (A^2 \E^{-2r/a})(4\pi r^2\dd{r}) = A^2 \pi a^3
\end{equation}
\begin{equation}
\psi (\bvec r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}} \E^{-r/a}
\end{equation}
位置的平均值
根据连续概率分布中平均值（或数学期望）的定义
\begin{equation}
\ev{\bvec r} = \int \bvec r \abs{\psi (\bvec r)} ^2 \dd{V} = \bvec 0
\end{equation}
电子离原子核距离的平均值
如果在上题中，求平均值的不是位置矢量，而是位置的大小，那么结果显然是大于零的．
\begin{equation}
\ev{r} = \int r \abs{\psi (\bvec r)}^2 \dd{V} = \int r (A^2 \E^{-2r/a})(4\pi r^2 \dd{r})= \frac{3}{8} a^4 A = \frac{3}{2}a
\end{equation}
电子最可能出现的位置
一个位置的波函数模长平方越大，电子越有可能出现在这个位置．所以现在要求的是概率密度出现最大值的位置． 根据指数函数的性质，最大值 $\abs{\psi (\bvec r)}_{\max}^2 = \qtyRound{ \E^{-0/a}/\sqrt{\pi a^3}}^2 = 1/(\pi a^3)$， 最大值位置为 $\bvec r = \bvec 0$．
电子与原子核最有可能的距离
若定义径向概率密度为
\begin{equation}
f(r) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\int_r^{\Delta r} {\abs{\psi (\bvec r)}}^2 (4\pi r^2 \dd{r}) }{\Delta r} = 4\pi r^2 \abs{\psi(\bvec r)}^2
\end{equation}
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