图

类氢原子的约化质量

预备知识 玻尔原子模型

   玻尔氢原子模型假设原子核的质量远大于电子质量. 得出的结论是

\begin{equation} E_n = -\frac{mZ^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} \approx - 13.6\Si{eV} \frac{Z^2}{n^2} \end{equation}
当考虑原子核运动的时候(但仍然忽略万有引力), 上式变为
\begin{equation} E_n = -\frac{\mu Z^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} \end{equation}
其中 $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ 叫做约化质量. $m_1$ 和 $m_2$ 分别是原子核质量和核外电子质量. 要注意这时的 $E_n$ 包括了原子核的动能.

推导

  1. 经典力学的条件
    \begin{equation} m_1 \frac{v_1^2}{r_1} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{(r_1 + r_2)^2} \end{equation}
  2. 角动量量子化条件(注意角动量是总角动量!)
    \begin{equation} m_1 v_1 r_1 + m_2 v_2 r_2 = n\hbar \end{equation}
  3. 质心系条件
    \begin{equation} m_1 r_1 = m_2 r_2 \qquad m_1 v_1 = m_2 v_2 \end{equation}
    要求的能量为
    \begin{equation} E_n = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r_1 + r_2} \end{equation}

   联立这几条式子, 就可以解出考虑原子核运动的能级公式. 推荐的步骤是, 把所有的 $r_2$ 和 $v_2$ 写成 $m_1 r_1/m_2$ 和 $m_1 v_1/m_2$ . 然后用和玻尔原子模型中一样的方法解出来即可.

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