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万有引力 引力势能

预备知识 牛顿运动定律

万有引力和引力场

   若两个质点质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$, 位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$, 则质点 1 对质点 2 的万有引力(gravitational force)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{12} = - \frac{G m_1 m_2}{r_{12}^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _{12} = - \frac{G m_1 m_2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^3}( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \end{equation}
其中 $r_{12} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert $ 是两点间的距离,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _{12} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)/ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert $ 是从 1 指向 2 的单位矢量.由该式, 质点 2 对质点 1 的万有引力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{21} = - \boldsymbol{\mathbf{F}} _{12}$, 符合牛顿第三定律.

   我们类比高中所学电场的概念, 把以上 $m_1$ 对 $m_2$ 的作用力看做是 $m_1$ 在空间中产生的引力场对 $m_2$ 的作用力. 定义 $m_1$ 产生的引力场

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -\frac{Gm_1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^3}( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \end{equation}
若 $m_1$ 是某天体的质量, 这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 就是它的重力加速度. 可见重力加速度会随位置的不同而变化.

万有引力势能

预备知识 力场 势能, 球坐标系中的梯度算符

   在寻找万有引力的势能以前,我们先来证明所有具有 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 形式的力场都是保守场. 质点延一段轨迹 $\mathcal{L}$ 从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 移动到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 时,力场对质点做功 可以用线积分 表示(以 $r$ 作为参数)

\begin{equation} W = \int_\mathcal{L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_{r_1}^{r_2} F(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
其中第二步是因为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot ( \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ) = F(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
显然线积分的结果只与初末位置(与原点的距离)有关,而与路径 $\mathcal{L}$ 的选择无关,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是保守力场.

   现在我们来寻找引力对应的势能.假设质量为 $M$ 的质点固定在坐标原点,考察质量为 $m$ 的质点位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $. 由于场对物体做功等于初势能减末势能 令质点沿着引力场从 ${ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}$ 延任意曲线移动到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$, 我们有

\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) - V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = \int_{r_1}^{r_2} F(r) \,\mathrm{d}{r} = - GMm\int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2} \,\mathrm{d}{r} = - GMm \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) \end{equation}
可见任意位置的势能函数可以取
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = V(r) = - \frac{GMm}{r} \end{equation}
根据势能的定义也可以给 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上任意常数,但习惯上我们令无穷远处势能为 0,而上式恰好满足这点.拓展到任意具有 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 形式的力场,其势能可以用不定积分得到
\begin{equation} V = -\int F(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
这与一维的情况相同.

   我们也可以反过来通过引力势能求出引力场.使用球坐标的梯度算符式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \boldsymbol\nabla V = GMm \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \frac{1}{r} = - \frac{GMm}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
也可以使用直角坐标的梯度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \boldsymbol\nabla V = GMm \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \end{equation}
以 $x$ 分量为例
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{x}} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} = - x(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = - \frac{x}{r^3} \end{equation}
另外两个分量类似可得 $- y/r^3$ 和 $- z/r^3$,代入式 9
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \boldsymbol\nabla V = - \frac{GMm}{r^3} (x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) = - \frac{GMm}{r^2}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r} = - \frac{GMm}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}

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