图

等比数列

   求和公式(从 1 开始 $n$ 项求和)

\begin{equation} 1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1} \end{equation}

证明

   使用数学归纳法, 当 $n = 1$ 时

\begin{equation} \frac{q^n - 1}{q - 1} = 1 \end{equation}
恰好是第 1 项. 第 $n + 1$ 项为
\begin{equation} \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} - \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^n \end{equation}
证毕.

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