图

广义球谐函数

预备知识 CG 系数

   有了 CG 系数的相位约定和球谐函数的相位约定, 就可以定义广义球谐函数(Generalized Spherical Harmonics)

\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) = \sum_{m_1, m_2} \bmat{l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M} Y_{l_1 m_1}(\uvec r_1) Y_{l_2 m_2} (\uvec r_2) \end{equation}
由于只有 $m_1 + m_2 = M$ 时 CG 系数才不为零, 求和就由双重求和变为了单个求和. 上下限

宇称

   宇称(parity)算符 $\Pi$ 的作用是把所有自变量乘以 $-1$ 得到的函数. 本征函数是所有中心对称或反对车的函数, 本征值为分别为 $\pm 1$.

   球谐函数是宇称算符的本征矢, 本征值为 $(-1)^l$ (式 6 ), 易得广义球谐函数也是宇称算符的本征矢, 本征值为 $(-1)^{l_1+l_2}$

\begin{equation} \Pi \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(-\uvec r_1, -\uvec r_2) = (-1)^{l_1+l_2} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) \end{equation}

交换对称性

   广义球谐函数不具有交换对称性1(除非 $l_1 = l_2$)

\begin{equation} P_{12} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_2, \uvec r_1) = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) \end{equation}
也可以记为
\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}(\uvec r_2, \uvec r_1) \end{equation}

   证明可以用 CG 系数的对称性(交换左边两列, 式 7

\begin{equation} \ali{ \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_2, \uvec r_1) &= \sum_{m_1, m_2} \bmat{l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M} Y_{l_2, m_2}(\uvec r_1) Y_{l_1, m_1}(\uvec r_2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2-L} \sum_{m_1, m_2} \bmat{l_2 & l_1 & L\\ m_2 & m_1 & M} Y_{l_2, m_2}(\uvec r_1) Y_{l_1, m_1}(\uvec r_2)\\ & = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2) }\end{equation}
式 3 也可以得到对易关系
\begin{equation} \comm{L^2}{P_{12}} = \comm{L_z}{P_{12}} = 0 \end{equation}
即交换两个粒子不改变总角动量.

   操作类算符(宇称,平移,交换)如果与某物理量算符对易, 就说明波函数经过该操作, 改物理量守恒. 如果哈密顿中的某一项算符(例如 z 方向的电场的 dipole)如果与某物理量算符(例如 $L_z$)对易, 就说明波函数经过该传播子传播,该物理量守恒.

正交性

   将式 10 用这里的符号表示, 就是

\begin{equation} \int \mathcal{Y}_{l_1', l_2'}^{L', M'}(\uvec r_1, \uvec r_2) \mathcal{Y}_{l_1, l_2}^{L, M}(\uvec r_1, \uvec r_2) \dd{\Omega_1} \dd{\Omega_2} = \delta_{l_1, l_1'} \delta_{l_2, l_2'} \delta_{L, L'} \delta_{M, M'} \end{equation}

其他性质

\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}(\uvec r_1, \uvec r_2) = (-1)^{l_1 + l_2 + L + M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2)^* \end{equation}
推导如下,
\begin{equation} \ali{ \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}(\uvec r_1, \uvec r_2) &= \sum_{m_1+m_2 = M} \bmat{l_1 & l_2 & L \\ -m_1 & -m_2 & -M} Y_{l_1,-m_1}(\uvec r_1) Y_{l_2, -m_2} (\uvec r_2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L} \sum_{m_1+m_2 = M} \bmat{l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M} Y_{l_1,-m_1}(\uvec r_1) Y_{l_2, -m_2} (\uvec r_2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \sum_{m_1+m_2 = M} \bmat{l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M} Y_{l_1,m_1}^*(\uvec r_1) Y_{l_2, m_2}^* (\uvec r_2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(\uvec r_1, \uvec r_2)^* }\end{equation}


1. 式中 $L$ 前面的负号可以变为加号, 但习惯上仍然写成负号, 因为虽然球谐函数要求 $L$ 为整数, 但在涉及到电子自旋时 $L$ 有可能是半整数, 这是就不能变为加号了.

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