图

gamma 函数

预备知识 定积分

结论

   当 $x$ 取实数且 $x > -1$ 时,可以定义连续的阶乘函数为

\begin{equation} x! \equiv \Gamma (x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
递推关系仍为
\begin{equation} x!=x(x-1)! \qquad (x > 0) \end{equation}
且 $(-1/2)!=\sqrt{\pi}$, $0! = 1$.

推导

   首先定义 $\Gamma$ (Gamma) 函数为

\begin{equation} \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
当 $x \leqslant 0$ 时该积分在 $x=0$ 处不收敛,以下仅讨论 $x$ 为正实数的情况1

   我们现在验证当 $x$ 取正整数时,新定义的阶乘 $x! = \Gamma(x+1)$ 与原来的定义 $x! = x(x-1)\dots 1$ 相同.首先

\begin{equation} 0! = \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = 0 - (-1) = 1 \end{equation}

   使用分部积分法,令 $t^x$ 为 “求导项”, $ \mathrm{e} ^{-t}$ 为积分项,可得递推公式2式 2

\begin{equation} \begin{aligned} x! &= \Gamma(x+1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = - \left. t^x \mathrm{e} ^{-t} \right\rvert _{t=0}^{t=+\infty} + \int_0^{+\infty} x t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \\ &= x\int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = x\Gamma (x) = x(x-1)! \end{aligned} \end{equation}
由递推式 5 和初值式 4 , 对任意正整数 $n$ 有
\begin{equation} n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)!... = n(n-1)...1 \end{equation}

   再来看半整数的阶乘,我们讨论范围内的最小半整数的阶乘为

\begin{equation} \left(-\frac12 \right) ! = \int_0^{+\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{-x}}{\sqrt x} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi} \end{equation}
该积分可以用换元法令 $x = t^2$ 变为高斯积分
\begin{equation} \left(-\frac 12 \right) ! = 2\int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
进行计算, 结果为 $\sqrt{\pi}$.

   对任意大于零的半整数 $n/2$,有

\begin{equation} \frac{n}{2}! = \frac{n}{2} \left(\frac{n}{2}-1 \right) ! = \frac{n}{2} \left(\frac{n}{2}-1 \right) \dots \frac12 \left(-\frac12 \right) ! = \frac{n}{2} \left(\frac{n}{2}-1 \right) \dots \frac12 \sqrt{\pi} \end{equation}


1. 事实上,自变量为负实数(非整数)时,$\Gamma$ 函数有另一种定义,这里不讨论.
2. 该证明仅对 $x > 0$ 适用, 这样才有 $0^x \mathrm{e} ^{-0} = 0$, 使第三个等号成立.

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